Расчет себестоимости (СЛАУ). Пример

    

Автор:  Александр Поляков

    

    

В данной статье мы научимся рассчитывать себестоимость – «закрывать» затраты периода с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Каждое уравнение такой системы представляет собой уравнение баланса затрат для каждого центра затрат, входящего в Граф затрат. Составлять и решать СЛАУ будем на примере расчета себестоимости для небольшого производственного предприятия, используя для этого типовой функционал Microsoft Excel (видеоролик).

 

Условия задачи

Формирование СЛАУ в матричной форме

Расширенная матрица исходных коэффициентов

Расширенная матрица коэффициентов уравнений

Решение СЛАУ (нахождение тарифов)

Матрица стоимостей и взвешенный Граф затрат

Проверка решения СЛАУ


 

УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ  ()

 

В интересующем нас периоде предприятие производит и продает продукцию, а также выполняет для других предприятий небольшие объемы ремонтных работ. На рисунке представлен взвешенный Граф затрат G(8,13), моделирующий движения потоков затрат на предприятии в выбранном периоде. 

    

SLAU10н

    

Центр затрат СС1 моделирует деятельность цеха 1 – транспортного цеха предприятия. Объемы транспортных услуг измеряются в машино-часах (м-ч).

Центр затрат СС2 моделирует деятельность цеха 2 – ремонтного цеха предприятия. Объемы ремонтных работ измеряются в часах (ч). Ремонтный цех выполняет ремонтные работы как для самого предприятия, так и для других предприятий. Себестоимость проданных ремонтных работ формируется на входе центра затрат СС8.

Транспортный цех и ремонтный цех объединены во Вспомогательный цех, который управляется своим административным персоналом. Центр затрат СС3 предназначен для моделирования деятельности этого административного персонала. Положением об учетной политике предприятия предусмотрено, что распределение стоимости управленческих затрат Вспомогательного цеха (на выходе СС3) производится пропорционально общим стоимостям первичных затрат, полученных цехами 1 и 2 в рассматриваемом периоде.

Центр затрат СС4 моделирует деятельность цеха 4 – цеха производства продукции, которая далее поступает на склад предприятия (СС5). Вся поступившая на склад продукция в рассматриваемом периоде продается покупателям. Себестоимость проданной продукции формируется на входе центра затрат СС7.

Центр затрат СС6 предназначен для моделирования деятельности высшего звена управления предприятием. Положением об учетной политике предусмотрено признание затрат на управление предприятием полностью в рассматриваемом периоде, т.е. все затраты, накопленные за период в центре затрат СС6, включаются в себестоимость проданной продукции – попадают на вход центра затрат СС7.

Журнал хозяйственных операций (ЖХО) предприятия за рассматриваемый период (до распределения вторичных затрат) имеет следующий вид:

    

SLAU11н 

Первые пять строк ЖХО содержат общие стоимости первичных затрат, полученных центрами затрат за рассматриваемый период. В данном случае для наглядности сразу показаны общие стоимости первичных затрат, т.к. именно они важны далее для расчета себестоимости, хотя на самом деле эти стоимости формируются множеством хозяйственных операций в ЖХО – начисление зарплаты, амортизации, потребление материалов и т.п. До тех пор, пока не будет выполнена процедура распределения вторичных затрат за период, только эти пять записей в ЖХО будут характеризоваться стоимостями затрат (первичных). Стоимости остальных затрат (вторичных) будут определены после расчета себестоимости за период.

Строки ЖХО с 6-ой по 18-ю пока содержат только общие количества единиц калькуляции, характеризующие процесс движения вторичных затрат между центрами затрат в рассматриваемом периоде. Эти количества должны быть известны до начала процедуры распределения вторичных затрат, они содержатся как в первичных учетных документах – товарных накладных, актах выполненных работ и услуг и т.п., так и во внутренних документах предприятия – производственных отчетах, ведомостях учета времени и т.п.

Целью распределения вторичных затрат периода (закрытия затрат) является определение тарифов, т.е. стоимостей единиц калькуляции для каждого центра затрат. Перемножив тарифы и количества единиц калькуляции, можно будет найти стоимости вторичных затрат в каждой строке ЖХО.

Кроме информации, пред­ставленной в ЖХО в явном виде, в цехе 4 существуют затраты в незавершенном производстве (НЗП):

wpBEG4=$50 – стоимость затрат в НЗП на начало периода

wpEND4=$40 – стоимость затрат в НЗП на конец периода

Обычно затраты в НЗП на начало периода не показываются в ЖХО в явном виде, их стоимости для каждого центра затрат рассчитываются алгебраическим сложением стоимостей затрат, поступивших (со знаком «+») в центр затрат и ушедших из него (со знаком «-») в предыдущем периоде. В данном примере по результатам распределения вторичных затрат предыдущего периода в цехе 4 (СС4) остались затраты в НЗП стоимостью 50$.

Затраты в НЗП на конец периода также не показываются в ЖХО в явном виде, их стоимость может быть определена различным образом, в частности, в рассматриваемом примере предполагается, что стоимость затрат в НЗП в размере 40$ была определена путем оценки стоимости остатков материалов и затрат на оплату труда, выявленных в цехе 4 по результатам инвентаризации в конце периода.

На этом можно завершить процесс описания хозяйственной деятельности предприятия в рассматриваемом периоде. Представленной выше информации достаточно для того, чтобы провести процедуру распределения вторичных затрат (закрытия затрат) и найти стоимости вторичных затрат для каждой строки ЖХО.


 

ФОРМИРОВАНИЕ СЛАУ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ ()

    

Представим СЛАУ для нашего примера в матричной форме:

P[8,8] TUC[8] Z[8]

где:

P[8,8] - матрица коэффициентов уравнений

TUC[8] - вектор-столбец тарифов

Z[8] - вектор-столбец правых частей уравнений

В статье рассматривается процедура решения СЛАУ с помощью таблиц Microsoft Excel, основанная на нахождении обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[8,8]. Целью данной процедуры является определение значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[8] с помощью следующей формулы:

TUC[8] = P-1[8,8] Z[8]

где:

P-1[8,8] – обратная матрица коэффициентов уравнений

Как известно, матрица коэффициентов уравнений формируется на основе матрицы исходных коэффициентов, которая по-существу представляет собой «шахматку», ячейки которой содержат общие количества единиц калькуляции – продукции, работ и услуг, характеризующие движение потоков затрат между центрами затрат в течение периода. Поэтому процедура распределения вторичных затрат (закрытия затрат) начинается с формирования матрицы исходных коэффициентов. 


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА ИСХОДНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ  ()

    

Сформируем матрицу исходных коэффициентов  K[8,8] («шахматку») на основе анализа данных из ЖХО:

   

SLAU12н

   

Квадратная матрица исходных коэффициентов K[8,8] представляет собой таблицу, в столбцах которой находятся источники затрат, а в строках – получатели затрат. В ячейки шахматки вносятся общие количества единиц калькуляции, которые источники затрат в течение периода передали получателям затрат. Элементы данной матрицы называются исходными коэффициентами ki,j.

В нашем примере используются следующие виды единиц калькуляции:

для цеха 1 (СС1) – 1 машино-час транспортных услуг

для цеха 2 (СС2) – 1 час ремонтных работ

для офисов (СС3 и СС6) – 1% услуг управления

для цеха 4 (СС4) и для склада (СС5) – 1 кг продукции

Напомним, что единица калькуляции – это единица измерения количества производимой центром затрат продукции, выполняемых работ или оказываемых услуг. В некоторых случаях выбор вида единицы калькуляции очевиден, например, производимые цехом 2 ремонтные работы измеряются в часах, а производимая цехом 4 продукция измеряется в килограммах.  Но могут использоваться и менее привычные единицы калькуляции, например, для услуг управления в нашем примере в качестве единицы измерения выбран 1% услуг управления.

Для удобства представления данных о затратах предприятия в задачах расчета себестоимости удобно использовать расширенную матрицу исходных коэффициентов KEXP[9,8], получаемую добавлением к квадратной матрице исходных коэффициентов K[8,8] справа вектора-столбца правых частей уравнений Z[8], значения элементов которого находят с помощью следующих формул:

   

SLAU13н

   

Данный вид матриц очень удобен для решения задач расчета себестоимости, т.к. расширенная матрица исходных коэффициентов позволяет в наглядной форме представить всю необходимую для распределения вторичных затрат (закрытия затрат) информацию. Если удалось сформировать расширенную матрицу исходных коэффициентов, то задачу расчета себестоимости можно считать фактически решенной, т.к. далее остается произвести только ряд «технических» действий – преобразовать эту матрицу в расширенную матрицу коэффициентов уравнений и, решив СЛАУ, найти значения тарифов на выходе каждого центра затрат. 


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ  ()

     

Преобразуем расширенную матрицу исходных коэффициентов KEXP[9,8] в расширенную матрицу коэффициентов уравнений PEXP[9,8], формулы для вычисления значений диагональных элементов этой матрицы показаны ниже на рисунке:

   

SLAU14н

   

Элементы данной матрицы называются коэффициентами уравнений pi,j.

Теперь воспользуемся таблицами Microsoft Excel (скачать) и запишем полученные выше матрицы в следующем виде:

    

SLAU15н

    

При работе с таблицами Microsoft Excel все пустые ячейки расширенной матрицы коэффициентов уравнений PEXP[9,8] необходимо заполнить 0-ми, это связано с технологическими особенностями вычисления некоторых функций в Microsoft Excel.

Как известно, любая СЛАУ имеет единственное решение в том случае, если определитель (8,8) матрицы Р[8,8] отличен от 0-ля. Вычислим в ячейке N11 значение определителя матрицы с помощью функции Microsoft Excel:

МОПРЕД(N3:U10)

где:

N3 – ячейка на пересечении первой строки и левого столбца матрицы P[8,8]

U10 – ячейка на пересечении последней строки и правого столбца матрицы P[8,8]

Полученное значение определителя (8,8) рано 0-лю, что говорит о невозможности нахождения единственного решения СЛАУ. Здесь нет ничего удивительного, т.к. значения всех элементов в столбцах для CC7 и CC8 равны 0-лю. Экономический смысл появления этих нулевых столбцов понятен – центры затрат СС7 и СС8 являются стоками, т.е. они только получают затраты и никуда их не отдают, а значит искать значения тарифов для них не нужно. В результате СЛАУ становится переопределенной, она содержит уравнений больше, чем число неизвестных тарифов.

Наличие двух 0-вых столбцов не позволяет найти решение СЛАУ, поэтому исключим из рассмотрения столбцы и строки для центров затрат CC7 и CC8. В результате расширенная матрица коэффициентов уравнений РEXP[9,8] преобразуется в расширенную матрицу коэффициентов уравнений РEXP[7,6] меньшей размерности:

    

SLAU16н

 

Вычислим в ячейке C21 значение определителя матрицы коэффициентов уравнений Р[6,6] с помощью функции Microsoft Excel МОПРЕД(C15:H20). Его значение отлично от 0-ля, что позволяет продолжить поиск единственного решения СЛАУ.


 

РЕШЕНИЕ СЛАУ (НАХОЖДЕНИЕ ТАРИФОВ)  ()

    

Поскольку нам пришлось исключить две строки и два столбца из расширенной матрицы коэффициентов уравнений РEXP[9,8], то теперь целью решения СЛАУ является определение значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[6], т.е. число неизвестных тарифов сократилось с 8-ми до 6-ти.  Формула для нахождения значений тарифов примет следующий вид:

TUC[6] = P-1[6,6] Z[6]

Чтобы решить СЛАУ, представленную расширенной матрицей коэффициентов уравнений РEXP[7,6], необходимо найти обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[6,6], для чего воспользуемся функцией Microsoft Excel МОБР(C15:H20).

     

SLAU17н

Данная функция вводится как формула массива. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

в ячейку N15 вводится формула МОБР(C15:H20)

выделяется курсором область ячеек (N15:S20)

не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2 (она сработает только для ячейки N15)

одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

во всех ячейках области (N15:S20) появится формула массива {МОБР(C15:H20)}

В результате в области ячеек (N15:S20) будет сформирована обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[6,6].

После этого можно выполнить последний шаг процедуры решения СЛАУ – определить значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[6]. Для этого необходимо перемножить обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[6,6] и вектор-столбец Z[6].

Перемножение матриц производится с помощью функции перемножения массивов МУМНОЖ(масив1,массив2). При выборе очередности массивов для перемножения необходимо, чтобы количество столбцов в массив1 было таким же, как количество строк в массив2, т.е. функция перемножения массивов примет следующий вид:

МУМНОЖ(N15:S20;T15:T20)

где:

массив1=(N15:S20) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[6,6]

массив2=(T15:T20) – вектор-столбец правых частей уравнений Z[6] 

   

SLAU18н

   

Данная функция вводится как формула массива:

в ячейку V15 вводится формула МУМНОЖ(N15:S20;T15:T20)

выделяется курсором область ячеек (V15:V20)

не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2 (она сработает только для ячейки V15)

одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (V15:V20) будут получены искомые значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[6], т.е. будет найдено решение СЛАУ.


МАТРИЦА СТОИМОСТЕЙ И ВЗВЕШЕННЫЙ ГРАФ ЗАТРАТ  ()

    

Теперь осталось определить значения элементов матрицы стоимостей C[8,8] Графа затрат G(8,13), для чего надо умножить значения элементов матрицы исходных коэффициентов К[8,8] на соответствующие значения тарифов из вектора-столбца ТUC[6]. В данном случае использовать формулу Microsoft Excel для перемножения матриц не нужно, достаточно просто умножить, например, все исходные коэффициенты столбца CC1 на тариф tUC1, все исходные коэффициенты столбца CC2 на тариф tUC2 и т.д. В результате получим матрицу стоимостей C[8,8] («шахматку»), ячейки которой содержат стоимости потоков вторичных затрат. 

   

SLAU19н

    

Запишем полученные стоимости вторичных затрат в ЖХО:

    

SLAU191н

 

Также сформируем взвешенный Граф затрат G(8,13), веса дуг которого соответствуют стоимостям потоков вторичных затрат.

    

SLAU192н  


ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ СЛАУ  ()

    

Для того, чтобы снять возможные сомнения по поводу правильности найденных стоимостей потоков затрат, проверим полученное решения. Сначала проверим, правильно ли была сформирована обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[6,6]? Из курса линейной алгебры известно, что результатом перемножения матрицы и ее обратной матрицы является единичная матрица E, т.е. умножив матрицу коэффициентов уравнений Р[6,6] на обратную ей матрицу Р-1[6,6] мы должны получить единичную матрицу Е[6,6]. Перемножим матрицы с помощью функции:

МУМНОЖ(C15:H20;N15:S20)

где:

(C15:H20) – матрица коэффициентов уравнений Р[6,6]

(N15:S20) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[6,6] 

    

SLAU193н   

Данная функция вводится как формула массива:

в ячейку N25 вводится в формула МУМНОЖ(C15:H20;N15:S20)

выделяется курсором область ячеек (N25:S30)

не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате перемножения матрицы коэффициентов уравнений Р[6,6] и обратной матрицы коэффициентов уравнений Р-1[6,6] действительно получилась единичная матрица Е[6,6], содержащая 1-цы на главной диагонали и 0-ли в остальных ячейках, по крайней мере, с точностью до 3-го знака после запятой.

Далее необходимо проверить, выполняются ли уравнения баланса затрат во всех центрах затрат Графа затрат G(8,13)?

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC1:  

SLAU194н     

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC2:

SLAU195н     

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC3:

SLAU196н    

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC4:   

SLAU197н

 

Как видим, уравнения баланса затрат для рассмотренных выше центров затрат выполняются.  Мы не будем проверять выполнение уравнений баланса затрат для остальных центров затрат Графа затрат G(8,13), читатель может выполнить проверку самостоятельно и убедиться в том, что все уравнения баланса затрат выполняются, т.е. решение СЛАУ найдено правильно.