Пример 1. Решение СЛАУ для Графа затрат G(8,13)

    

Автор:  Александр Поляков

    

    

В данной статье, на примере расчета себестоимости на небольшом производственном предприятии Orion Ltd., мы научимся составлять и решать СЛАУ с помощью доступного практически любому читателю типового функционала Microsoft Excel (перейти к видеоролику).

 

Условия задачи

Формирование СЛАУ в матричной форме

Формирование расширенной матрицы исходных коэффициентов

Формирование расширенной матрицы коэффициентов уравнений

Решение СЛАУ. Вычисление тарифов

Формирование матрицы стоимостей и взвешенного Графа затрат

Проверка решения СЛАУ


 

Условия задачи  (наверх)

 

Предприятие Orion Ltd. производит и продает продукцию, а также выполняет для других предприятий небольшие объемы ремонтных работ – ремонтитует электрооборудование. На рисунке представлен взвешенный Граф затрат G(8,13), моделирующий движения потоков затрат на предприятии в выбранном для рассмотрения периоде.

Граф затрат - решение системы уравнений баланса затрат

Центр затрат СС1 моделирует деятельность транспортного подразделения предприятия. Объемы транспортных услуг измеряются в машино-часах (м-ч).

 

Центр затрат СС2 моделирует деятельность ремонтного подразделения предприятия. Объемы ремонтных работ измеряются в часах (ч). Ремонтное подразделение предприятия, кроме ремонта электрооборудования предприятия, выполняет небольшие объемы ремонтных работ для других предприятий. Себестоимость проданных ремонтных работ формируется на входе финишного центра затрат СС8.

 

В соответствии с организационной структурой, транспортное и ремонтное подразделения объединены во Вспомогательный цех предприятия. Центр затрат СС3 предназначен для моделирования деятельности среднего звена управления – управления на уровне Вспомогательного цехаПоложением об учетной политике предприятия Orion Ltd. предусмотрено, что распределение стоимости вторичных затрат на выходе центра затрат СС3производится пропорционально стоимостям потоков первичных затрат, полученных центрами затрат CC1 и CC2 в рассматриваемом периоде.

    

Центр затрат СС4 предназначен для моделирования процесса производства продукции, которая поступает на склад предприятия. Готовая продукция на складе представлена в Графе затрат G(8,13) центром затрат СС5. Вся поступившая на склад продукция далее продается покупателям. Себестоимость проданной продукции формируется на входе финишного центра затрат СС7.

  

Центр затрат СС6 предназначен для моделирования деятельности высшего звена управления предприятием Orion Ltd.Положением об учетной политике предприятия Orion Ltd. предусмотрено признание затрат на общее управление предприятием полностью в рассматриваемом периоде. Это означает, что все стоимости потоков первичных затрат и входящих элементарных потоков вторичных затрат, накопленные в текущем периоде на центре затрат СС6, полностью включаются в себестоимость проданной продукции, стоимость которой формируется на финишном центре затрат СС7.

 

Рассмотрим журнал хозяйственных операций (ЖХО) предприятия Orion Ltd. за рассматриваемый период (до распределения вторичных затрат):

    

Граф затрат - журнал хозяйственных операций 

В столбце ДТ представлены получатели затрат, т.е. дебетуемые центры затрат.

В столбце Кт представлены источники затрат, т.е. кредитуемые центры затрат.

Первые пять строк ЖХО содержат стоимости потоков первичных затрат, полученных центрами затрат Графа затрат G(8,13) в рассматриваемом периоде. До тех пор, пока не будет выполнена процедура распределения потоков вторичных затрат за рассматриваемый период, эти пять записей в ЖХО будут единственными, у которых значения в столбце Сумма, содержащем стоимости затрат, будут отличны от 0-ля.

Остальные строки ЖХО в столбце Кол. содержат сведения о количествах единиц калькуляции, характеризующих процесс обмена потоками вторичных затрат между центрами затрат Графа затрат G(8,13) в рассматриваемом периоде.

В столбце Ед.к представлены виды единиц калькуляции на выходах центров затрат, расположенных в столбце Кт.

Столбец Тариф должен содержать значения тарифов, т.е. стоимостей единиц калькуляции на выходах центров затрат, расположенных в столбце Кт.

Значения в столбцах Тариф и Сумма для строк ЖХО с 6-ой по 18-ю могут быть заполнены только после проведения процедуры распределения потоков вторичных затрат за рассматриваемый период.

Кроме информации, пред­ставленной в ЖХО, необходимо также учесть, что в центре затрат CC4:

  • wpBEG4=$50 - присутствовала стоимость затрат в незавершенном производстве на начало периода
  • wpEND4=$40 - присутствует стоимость затрат в незавершенном производстве на конец периода

На этом можно завершить процесс описания хозяйственной деятельности предприятия Orion Ltd. в рассматриваемом периоде. Представленная выше информация позволяет нам рассчитать стоимость элементарных потоков вторичных затрат в Графе затрат G(8,13), для чего необходимо составить и решить СЛАУ.


 

Формирование СЛАУ в матричной форме  (наверх)

    

Представим СЛАУ для нашего примера в матричной форме:

     P[8,8]TUC[8]=Z[8] 

где:

  • P[8,8] - матрица коэффициентов уравнений
  • TUC[8] - вектор-столбец тарифов
  • Z[8] - вектор-столбец правых частей уравнений

Для того, чтобы читатели смогли повторить и проверить все шаги решения СЛАУ, мы рассмотрим процедуру решения СЛАУ с помощью метода, основанного на нахождении обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[8,8]. Целью решения СЛАУ является определение значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[8], которые можно определить с помощью следующей формулы:

     TUC[8]=P-1[8,8]Z[8] 

где:

  • P-1[8,8] - обратная матрица коэффициентов уравнений 

Формирование расширенной матрицы исходных коэффициентов  (наверх)

    

Начнем решение задачи с формирования элементов расширенной матрицы исходных коэффициентов KEXP[9,8] на основе анализа данных, содержащихся в ЖХО:

   

Решение СЛАУ для Графа затрат

   

Зная величины исходных коэффициентов, мы можем сформировать квадратную матрицу исходных коэффициентов K[8,8], но для составления СЛАУ нам нужна прямоугольная расширенная матрица исходных коэффициентов KEXP[9,8]. Для ее получения необходимо найти значения элементов вектора-столбца правых частей уравнений Z[8] с помощью следующих формул:

   

Решение СЛАУ для Графа затрат

   

Теперь у нас есть значения исходных коэффициентов, формирующих квадратную матрицу исходных коэффициентов K[8,8], и значения элементов вектора-столбца правых частей уравнений Z[8], что дает нам возможность сформировать значения элементов прямоугольной расширенной матрицы исходных коэффициентов КEXP[9,8] для Графа затрат G(8,13):

    

Граф затрат - расширенная матрица исходных коэффициентов

  • В ячейках с C11 по J11 строки №11 вычислим обшее количество единиц калькуляции в каждом столбце (взятое со знаком «минус»). Это нам поможет далее сформировать значения элементов на главной диагонали матрицы коэффициентов уравнений P[8,8] 

СКАЧАТЬ связанные таблицы...


Формирование расширенной матрицы коэффициентов уравнений  (наверх)

     

Теперь необходимо преобразовать значения элементов матрицы исходных коэффициентов K[8,8] в значения элементов матрицы коэффициентов уравнений P[8,8]:

   

Решение СЛАУ для Графа затрат

   

Сформируем матрицу коэффициентов уравнений P[8,8], дополним ее справа вектором-столбцом Z[8] и получим расширенную матрицу коэффициентов уравнений PEXP[9,8]:

    

Граф затрат - расширенная матрица коэффициентов уравнений

  • Значения элементов для главной диагонали можно взять из ячеек C11...J11, только со знаком «-»

Пустые ячейки расширенной матрицы коэффициентов уравнений PEXP[9,8] необходимо заполнить 0-ми, это связано с технологическими особенностями вычисления некоторых функций в Microsoft Excel

 

Как известно, СЛАУ имеет единственное решение только в том случае, если определитель (8,8) матрицы Р[8,8] отличен от 0-ля. Вычислим в ячейке L12 значение определителя матрицы коэффициентов уравнений Р[8,8] с помощью функции Microsoft Excel:

     МОПРЕД(C14:J21)

где:

  • C14 -ячейка, находящаяся на пересечении первой строки и левого столбца матрицы коэффициентов уравнений P[8,8] 
  • J21 - ячейка, находящаяся на пересечении последней строки и правого столбца матрицы коэффициентов уравнений P[8,8]

Как видим, значение определителя (8,8) рано 0-лю. Полученный результат говорит о том, что решения СЛАУ не существует. Здесь нет ничего удивительного, т.к. при внимательном рассмотрении значений элементов матрицы коэффициентов уравнений Р[8,8] мы увидим, что все значения элементов в столбцах для центров затрат CC7 и CC8 являются 0-выми. Экономический смысл появления в матрице коэффициентов уравнений Р[8,8]  нулевых столбцов понятен - центры затрат СС7 и СС8 в Графе затрат G(8,13) являются стоками СС7-finish и СС8-finish, т.е. они только получают вторичные затраты, «работая» в матрице коэффициентов уравнений Р[8,8] только по строкам. Об особенностях составления СЛАУ для случая, когда в Графе затрат присутстуют стоки, можно прочитать в статье Граф затрат содержит сток.

    

Наличие в матрице Р[8,8] 0-вых столбцов не позволяет найти решение СЛАУ, поэтому исключим столбцы и строки для центров затрат CC7 и CC8 из матрицы коэффициентов уравнений Р[8,8]Смысл данной операции заключается в том, что целью решения СЛАУ является нахождение величин тарифов на выходе каждого центра затрат, а у финишных центров затрат СС7 и СС8 нет выходных потоков затрат, поэтому и искать ничего не надо. Таким образом, матрица коэффициентов уравнений Р[8,8] преобразуется в матрицу коэффициентов уравнений меньшей размерности Р[6,6], что, в свою очередь, приводит к преобразованию расширенной матрицы коэффициентов уравнений PEXP[9,8] в расширенную матрицу коэффициентов уравнений PEXP[7,6]:

    

Граф затрат - расширенная матрица коэффициентов уравнений

 

Вычислим в ячейке L23 значение определителя матрицы коэффициентов уравнений Р[6,6] с помощью функции Microsoft Excel:

     МОПРЕД(C25:H30)

где:

  • C25 -ячейка, находящаяся на пересечении первой строки и левого столбца матрицы коэффициентов уравнений P[6,6] 
  • H30 - ячейка, находящаяся на пересечении последней строки и правого столбца матрицы коэффициентов уравнений P[6,6]

Значение определителя матрицы P[6,6] отлично от 0-ля, что позволяет нам продолжить поиск обратной матрицы коэффициентов уравнений Р-1[6,6].


 

Решение СЛАУ. Вычисление тарифов  (наверх)

    

Для этого используем функцию Microsoft Excel:

     МОБР(C25:H30)

Данная функция вводится как формула массива. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

  • введем в ячеку С34 формулу МОБР(C25:H30)
  • выделим курсором область ячеек (C34:H39)
  • не отменяя выделения ячеек области нажимаем клавишу F2 (она сработает только для ячейки C34)
  • одновременно нажимаем комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter
  • во всех ячейках области (C34:H39) появится формула массива {МОБР(C25:H30)}

В результате произведенных действий обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[6,6] сформировалась в области ячеек (C34:H39): 

     

Вектор-столбец тарифов Графа затрат

После того, как мы сформировали обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[6,6], можно выполнить последний шаг алгоритма решения СЛАУ – определить значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[6]. Для этого необходимо перемножить обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[6,6] и вектор-столбец Z[6].

Перемножение матриц будем производить с помощью функции перемножения массивов МУМНОЖ(масив1,массив2). При выборе очередности массивов для перемножения необходимо, чтобы количество столбцов в массив1 было таким же, как количество строк в массив2, т.е. функция перемножения массивов примет следующий вид:

 

     МУМНОЖ(C34:H39;I34:I39)

 

Данная функция вводится как формула массива:

  • введем в ячеку K34 формулу МУМНОЖ(C34:H39;I34:I39)
  • выделим курсором область ячеек (K34:K39)
  • не отменяя выделения ячеек области нажимаем клавишу F2 (она сработает только для ячейки K34)
  • одновременно нажимаем комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате перемножения матриц P-1[6,6] и Z[6], мы получим в области ячеек (K34:K39) значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[6], т.е. найдем решение СЛАУ. Уточним смысл полученных значений тарифов:

  • tUC1=0,2197 $/м-ч - стоимость 1-го машино-часа на выходе CC1
  • tUC2=1,7495 $/ч - стоимость 1-го часа ремонтных работ на выходе CC2
  • tUC3=1,0696 $/% - стоимость 1-го процента управленческих услуг на выходе CC3
  • tUC4=6,6265 $/кг - стоимость 1-го килограмма продукции на выходе CC4
  • tUC5=6,6265 $/кг - стоимость 1-го килограмма продукции на выходе CC5
  • tUC6=1,6867 $/% - стоимость 1-го процента управленческих услуг на выходе CC6 

Формирование матрицы стоимостей и взвешенного Графа затрат  (наверх)

    

Теперь мы можем определить значения элементов матрицы стоимостей C[8,8] Графа затрат G(8,13). Для этого надо умножить значения элементов матрицы исходных коэффициентов К[8,8] на соответствующие значения тарифов из вектора-столбца ТUC[6].

 

Определим стоимости элементарных потоков вторичных затрат на выходах центров затрат:

   

Решение СЛАУ для Графа затрат

    

Теперь мы можем сформировать матрицу стоимостей C[8,8] Графа затрат G(8,13):

    

Матрица стоимостей Графа затрат

 

Сформируем на основе матрицы стоимостей C[8,8] взвешенный Граф затрат G(8,13), веса дуг которого соответствуют стоимостям элементаных потоков вторичных затрат.

    

Граф затрат - решение системы уравнений баланса затрат  

Занесем величины тарифов и стоимости элементарных потоков вторичных затрат в ЖХО:

    

Граф затрат - журнал хозяйственных операций  


Проверка решения СЛАУ  (наверх)

    

Для того, чтобы снять возможные сомнения по поводу правильности решения СЛАУ, произведем проверки полученного решения.

 

Сначала проверим - правильно ли была сформирована обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[6,6]? Из курса линейной алгебры известно, что результатом умножения матрицы на ее обратную матрицу является единичная матрица E. Следовательно, в результате умножения матрицы коэффициентов уравнений Р[6,6] на обратную ей матрицу Р-1[6,6] должна получиться единичная матрица Е[6,6]. Перемножим матрицы с помощью функции:

 

     МУМНОЖ(C25:H30;C34:H39)

Данная функция вводится как формула массива:

  • введем в ячеку C54 формулу МУМНОЖ(C25:H30;C34:H39)
  • выделим курсором область ячеек (C54:H59)
  • не отменяя выделения ячеек области нажимаем клавишу F2
  • одновременно нажимаем комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter

Мы видим, что в результате перемножения матрицы коэффициентов уравнений Р[6,6] и обратной матрицы коэффициентов уравнений Р-1[6,6] действительно получилась единичная матрица Е[6,6], содержащая 1-цы на главной диагонали и 0-ли в остальных ячейках (по крайней мере, с точностью до 4-го знака после запятой).

    

Единичная матрица Графа затрат  

Далее проверим - выполняются ли в центрах затрат Графа затрат G(8,13) уравнения баланса затрат?

    

Определим алгебраическую сумму всех потоков затрат, поступивших на вход центра затрат CC1, и ушедших с его выхода:

      $25+$26,24+$26,74-$10,98-$21,97-$26,36-$18,67=$0 - уравнение баланса затрат выполняется 

Уравнение баланса затрат для центра затрат    

Определим алгебраическую сумму всех потоков затрат, поступивших на вход центра затрат CC2, и ушедших с его выхода:

      $75+$10,98+$80,22-$26,24-$34,99-$61,23-$43,74=$0 - уравнение баланса затрат выполняется 

Уравнение баланса затрат для центра затрат    

Определим алгебраическую сумму всех потоков затрат, поступивших на вход центра затрат CC3, и ушедших с его выхода:

      $50+$21,97+$34,99-$26,74-$80,22=$0 - уравнение баланса затрат выполняется 

Уравнение баланса затрат для центра затрат

    

Мы не будем проверять выполнение уравнений баланса затрат для остальных центров затрат Графа затрат G(8,13), читатель может выполнить проверку самостоятельно и убедиться в том, что мы нашли правильное решение СЛАУ.