Расчет себестоимости (СЛАУ). Пример

    

Автор:  Александр Поляков

    

    

В данной статье мы научимся рассчитывать себестоимость – «закрывать» затраты периода с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Каждое уравнение такой СЛАУ представляет собой уравнение баланса затрат для центра затрат, входящего в модель хозяйственной деятельности предприятия – Графа затрат.

Составлять СЛАУ в матричной форме и искать решение СЛАУ будем на примере расчета себестоимости для небольшого производственного предприятия, используя для этого типовой функционал Microsoft Excel и метод решения СЛАУ, основанный на нахождении обратной матрицы. Также можно скачать таблицы Microsoft Excel для рассматриваемого в статье примера и работать с ними в процессе чтения материала статьи.

 

Условия задачи

Формирование СЛАУ в матричной форме

Расширенная матрица исходных коэффициентов

Расширенная матрица коэффициентов уравнений

Решение СЛАУ (нахождение тарифов)

Матрица стоимостей и взвешенный Граф затрат

Проверка решения СЛАУ


 

УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ  ()

 

В интересующем нас периоде предприятие производит и продает продукцию, а также выполняет для других предприятий небольшие объемы ремонтных работ.

Ниже на рисунке представлен журнал хозяйственных операций (ЖХО) и взвешенный Граф затрат G(7,11), моделирующий движения потоков затрат на предприятии в выбранном периоде. 

    

SLAU10

    

Цех 1 (СС1) оказывает транспортные услуги подразделениям предприятия. Объемы транспортных услуг измеряются в машино-часах.

Цех 2 (СС2) выполняет ремонтные работы для подразделений предприятия и для сторонних контрагентов, т.е. продает ремонтные работы. Объемы ремонтных работ измеряются в часах. Себестоимость проданных ремонтных работ формируется на входе центра затрат СС7.

Цех 4 (СС4) производит продукцию, измеряемую в килограммах, которая поступает на склад предприятия (СС5). Часть продукции со склада в рассматриваемом периоде используется цехом 2, а оставшаяся продукция продается покупателям. Себестоимость проданной продукции формируется на входе центра затрат СС6.

Управление деятельностью предприятия производится административным персоналом в офисе (СС3). Распределение стоимости управленческих затрат офиса (СС3) производится в следующих пропорциях – по 25% получают цех 1 и цех 2, а оставшиеся 50% приходятся на долю цеха 4. В данном случае рассчитываются полные себестоимости проданных продукции и ремонтных работ, поскольку в них включаются стоимости затрат на управление предприятием.

Первые четыре записи ЖХО содержат общие стоимости первичных затрат, полученных цехами и офисом предприятия за рассматриваемый период. В данном случае для наглядности сразу показаны общие стоимости первичных затрат, т.к. именно они важны далее для расчета себестоимости. На самом деле эти стоимости формируются множеством хозяйственных операций в ЖХО – начисление зарплаты, амортизации, потребление материалов, работ, услуг и т.п.

До тех пор, пока не будет выполнена процедура закрытия затрат периода, только эти четыре записи ЖХО будут характеризоваться стоимостями затрат. Стоимости затрат для остальных записей ЖХО – стоимости вторичных затрат будут определены по результатам проведения процедуры закрытия затрат периода.

В данный момент записи ЖХО с 5-ой по 15-ю содержат только общие количества единиц калькуляции, характеризующие процесс движения вторичных затрат между центрами затрат в рассматриваемом периоде. Эти количества всегда должны быть известны до начала процедуры закрытия затрат периода, они содержатся как в первичных учетных документах – товарных накладных, актах выполненных работ и услуг и т.п., так и во внутренних документах предприятия – производственных отчетах, ведомостях учета рабочего времени и т.п.

Целью распределения вторичных затрат (закрытия затрат периода) является определение тарифов, т.е. стоимостей единиц калькуляции для каждого центра затрат. Перемножив далее тарифы и количества единиц калькуляции, можно будет найти стоимости вторичных затрат для каждой записи ЖХО.

На этом можно завершить процесс описания хозяйственной деятельности предприятия в рассматриваемом периоде. Представленной выше информации достаточно для проведения процедуры закрытия затрат периода и нахождения стоимости вторичных затрат для каждой записи ЖХО.    


 

ФОРМИРОВАНИЕ СЛАУ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ ()

    

Запишем для нашего примера СЛАУ в матричной форме:

P[7,7] TUC[7] = Z[7]

где:

P[7,7] – матрица коэффициентов уравнений

TUC[7] – вектор-столбец тарифов

Z[7] – вектор-столбец правых частей уравнений

В настоящее время существует большое количество численных методов решения СЛАУ. В учебных целях в статье рассматривается процедура решения СЛАУ с помощью таблиц Microsoft Excel (скачать), использующая метод, основанный на нахождении обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[7,7].

Целью решения СЛАУ является определение значений тарифов, т.е. стоимостей единиц калькуляции для всех центров затрат модели. Искомые значения тарифов содержатся в векторе-столбце тарифов ТUC[7] и определяются с помощью следующей формулы:

TUC[7] = P-1[7,7] Z[7]

где:

P-1[7,7] – обратная матрица коэффициентов уравнений

Как известно, матрица коэффициентов уравнений формируется на основе матрицы исходных коэффициентов, которая по-существу представляет собой «шахматку», ячейки которой содержат общие количества единиц калькуляции – продукции, работ и услуг, характеризующие движение потоков затрат между центрами затрат в течение периода. Поэтому процедура распределения вторичных затрат (закрытия затрат периода) начинается с формирования матрицы исходных коэффициентов.


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА ИСХОДНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ  ()

    

Сформируем матрицу исходных коэффициентов  K[7,7] («шахматку») на основе анализа записей ЖХО:

   

SLAU11

   

Квадратная матрица исходных коэффициентов K[7,7] представляет собой таблицу, в столбцах которой находятся источники затрат, а в строках – получатели затрат. В ячейки шахматки вносятся общие количества единиц калькуляции, которые источники затрат в течение периода передали получателям затрат. Элементы данной матрицы называются исходными коэффициентами ki,j.

В нашем примере используются следующие виды единиц калькуляции:

для цеха 1 (СС1) – 1 м-ч транспортных услуг

для цеха 2 (СС2) – 1 ч ремонтных работ

для офиса (СС3) – 1% услуг управления

для цеха 4 (СС4) и для склада (СС5) – 1 кг продукции

Напомним, что единица калькуляции – это единица измерения количества производимой центром затрат продукции, выполняемых работ или оказываемых услуг. В некоторых случаях выбор вида единицы калькуляции очевиден, например, производимые цехом 2 ремонтные работы измеряются в часах, а производимая цехом 4 продукция измеряется в килограммах.  Но могут использоваться и менее привычные единицы калькуляции, например, для услуг управления в нашем примере в качестве единицы измерения выбран 1% услуг управления.

Для удобства представления данных о затратах предприятия в задачах расчета себестоимости удобно использовать расширенную матрицу исходных коэффициентов KEXP[8,7], получаемую добавлением к квадратной матрице исходных коэффициентов K[7,7] справа вектора-столбца правых частей уравнений Z[7]:

   

SLAU12

   

Данный вид матриц хотя и не присутствует в явном виде при представлении СЛАУ в матричной форме, но очень удобен для использования в практической работе при решении задач расчета себестоимости, т.к. позволяет в наглядной форме представить всю необходимую для распределения вторичных затрат информацию. Можно сказать, что если удалось сформировать расширенную матрицу исходных коэффициентов, то фактически задачу расчета себестоимости можно считать решенной, т.к. на этом заканчиваются все «творческие» задачи при работе с моделью для расчета себестоимости. Далее остается просто произвести ряд технических действий – преобразовать эту матрицу в расширенную матрицу коэффициентов уравнений, решить СЛАУ каким-либо методом и найти значения искомых тарифов на выходе каждого центра затрат. 


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ  ()

     

Преобразуем расширенную матрицу исходных коэффициентов KEXP[8,7] в расширенную матрицу коэффициентов уравнений PEXP[8,7]. Данное преобразование происходит единственным образом, т.е. сформировав матрицу KEXP[8,7] мы фактически определили и матрицу PEXP[8,7]:

   

SLAU13

   

Элементы данной матрицы называются коэффициентами уравнений pi,j.

Теперь воспользуемся таблицами Microsoft Excel (скачать) и запишем полученные выше матрицы в следующем виде:

    

SLAU14

    

При работе с таблицами Microsoft Excel (скачать) пустые ячейки матрицы PEXP[8,7] необходимо заполнить 0-ми, это связано с технологическими особенностями вычисления некоторых функций в Microsoft Excel.

СЛАУ должна иметь единственное решение в том случае, если определитель (7,7) матрицы Р[7,7] отличен от 0-ля, поэтому сначала вычислим в ячейке N10 значение определителя с помощью функции Microsoft Excel:

(7,7)=МОПРЕД(M3:S9)=0

где:

M3 – ячейка на пересечении первой строки и левого столбца матрицы P[7,7]

S9 – ячейка на пересечении последней строки и правого столбца матрицы P[7,7]

Полученное значение определителя (7,7) рано 0-лю, что говорит о невозможности нахождения единственного решения СЛАУ.

Это связано с тем, что значения всех элементов в столбцах для CC6 и CC7 равны 0-лю. Центры затрат СС6 и СС7 являются стоками, т.е. они только получают затраты и никуда их не отдают, а значит искать значения тарифов для них не нужно. В результате СЛАУ становится переопределенной, она содержит уравнений больше, чем число неизвестных тарифов.

Поскольку наличие двух 0-вых столбцов не позволяет найти единственное решение СЛАУ, исключим из рассмотрения столбцы и строки для CC6 и CC7. В результате матрица РEXP[8,7] преобразуется в матрицу РEXP[6,5] меньшей размерности:

    

SLAU15

 

Вычислим в ячейке C19 значение определителя матрицы Р[5,5]:

(5,5)=МОПРЕД(C14:G18)=-2,73×106≠0

Значение определителя отлично от 0-ля, т.е. можно продолжить поиск решения СЛАУ.


 

РЕШЕНИЕ СЛАУ (НАХОЖДЕНИЕ ТАРИФОВ)  ()

    

Поскольку две строки и два столбца были исключены из матрицы РEXP[8,7], то теперь целью решения СЛАУ является определение значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[5], т.е. число неизвестных тарифов сократилось с 7-ми до 5-ти.  Формула для нахождения значений тарифов примет следующий вид:

TUC[5] = P-1[5,5] Z[5]

Чтобы решить СЛАУ, представленную матрицей РEXP[6,5], сначала найдем обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[5,5]:

 

     

SLAU16

Для этого воспользуемся функцией Microsoft Excel МОБР(C14:G18), которая вводится как формула массива и предполагает выполнение следующих действий:

- в ячейку M14 вводится формула МОБР(C14:G18)

- выделяется курсором область ячеек (M14:Q18)

- не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

- одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (M14:Q18) будет сформирована обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[5,5]

После этого можно выполнить последний шаг процедуры решения СЛАУ – определить значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[5], для чего необходимо перемножить матрицу Р-1[5,5] и вектор-столбец Z[5].

Перемножение матриц производится с помощью функции перемножения массивов МУМНОЖ(масив1,массив2). При выборе очередности массивов для перемножения необходимо, чтобы количество столбцов в массив1 было таким же, как количество строк в массив2, т.е. функция перемножения массивов примет следующий вид:

МУМНОЖ(M14:Q18;R14:R18)

где:

массив1=(M14:Q18) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[5,5]

массив2=(R14:R18) – вектор-столбец правых частей уравнений Z[5] 

   

SLAU17

   

Данная функция вводится как формула массива:

- в ячейку T14 вводится формула МУМНОЖ(M14:Q18;R14:R18)

- выделяется курсором область ячеек (T14:T18)

- не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

- одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (T14:T18) будут получены искомые значения тарифов, т.е. будет найдено решение СЛАУ.


МАТРИЦА СТОИМОСТЕЙ И ВЗВЕШЕННЫЙ ГРАФ ЗАТРАТ  ()

    

Теперь осталось определить значения элементов матрицы стоимостей C[7,7] Графа затрат G(7,11), для чего надо умножить значения элементов матрицы исходных коэффициентов К[7,7] на соответствующие значения тарифов из вектора-столбца ТUC[5]

   

SLAU18

    

В ячейках матрицы стоимостей C[7,7] содержатся все стоимости вторичных затрат, и теперь можно записать эти стоимости в ЖХО, а также записать в ЖХО значения полученных тарифов из вектора-столбца TUC[5]:

    

SLAU19


ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ СЛАУ  ()

    

Чтобы снять возможные сомнения по поводу правильности найденных стоимостей потоков вторичных затрат, проверим полученное решения СЛАУ. Для этого необходимо проверить, выполняются ли уравнения баланса затрат во всех центрах затрат Графа затрат G(7,11)? 

    

SLAU19 1   

Как видим, все уравнения баланса затрат в СЛАУ выполняются, т.е. решение СЛАУ найдено правильно!

Также проверим (для «тренировки» работы с матрицами в Microsoft Excel) правильность формирования обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[5,5]. Из курса линейной алгебры известно, что результатом перемножения матрицы и ее обратной матрицы является единичная матрица E. Это значит, что умножив матрицу коэффициентов уравнений Р[5,5] на обратную ей матрицу Р-1[5,5] мы должны получить единичную матрицу Е[5,5].

Перемножим матрицы с помощью функции:

МУМНОЖ(C15:H20;N15:S20)

где:

(C15:H20) – матрица коэффициентов уравнений Р[5,5]

(N15:S20) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[5,5]

SLAU19 2     

Данная функция вводится как формула массива:

в ячейку M23 вводится в формула МУМНОЖ(C14:G18;M14:Q18)

выделяется курсором область ячеек (M23:Q27)

не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате действительно получилась единичная матрица Е[5,5], содержащая 1-цы на главной диагонали и 0-ли в остальных ячейках, по крайней мере, с точностью до 4-го знака после запятой.