Расчет себестоимости (решение СЛАУ). Вариант 1

    

Автор:  Александр Поляков

    

    

В данной статье будет рассмотрена процедура расчета себестоимости (закрытия затрат периода), основанная на решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью типового функционала Microsoft Excel. Данная СЛАУ состоит из уравнений баланса затрат для каждого центра затрат, входящего в модель для расчета себестоимости – Граф затрат.

Изучать эту процедуру будем на примере небольшого производственного предприятия, все этапы процедуры будут рассмотрены максимально подробно. Рекомендуется скачать таблицы Microsoft Excel для рассматриваемого примера и работать с ними в процессе изучения материала статьи.

   

Условия задачи

Формирование СЛАУ в матричной форме (вариант 1)

Уменьшаем размерность задачи

Решение СЛАУ (обратная матрица)

Решение СЛАУ (оптимизационная задача)

Матрица стоимостей

Проверка решения СЛАУ


 

УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

 

Предприятие осуществляет два вида деятельности – производит и продает продукцию, а также выполняет (продает) для сторонних контрагентов ремонтные работы. Ниже на рисунке представлен журнал хозяйственных операций (ЖХО) предприятия за отчетный период:

    

SLAU10

    

Для наглядности также представим множество хозяйственных операций отчетного периода в геометрической форме – в виде нарисованного Графа затрат, дуги которого идентифицируются с помощью номеров хозяйственных операций из ЖХО (в скобках), весами дуг выступают количества единиц калькуляции и суммы хозяйственных операций.

   

SLAU11

   

Цех 1 (СС1) оказал транспортные услуги Офису (СС3) в количестве 5-ти машино-часов.

Цех 2 (СС2) выполнил ремонтные работы для Офиса (СС3) и Цеха 4 (СС4) в количестве 5-ти часов каждому, а также для сторонних контрагентов в количестве 10-ти часов (продал ремонтные работы). Себестоимость проданных ремонтных работ формируется на входе центра затрат СС7.

Цех 4 (СС4) произвел 10 килограммов продукции и поместил ее на склад предприятия (СС5). Часть продукции со склада (8кг) была продана покупателям, а оставшаяся продукция (2кг) в этом же периоде была использована Цехом 2 (СС2) для производства ремонтных работ. Себестоимость проданной продукции формируется на входе центра затрат СС6.

Управление деятельностью предприятия производится административным персоналом в Офисе (СС3). Распределение стоимости управленческих затрат Офиса (СС3) производится в следующих пропорциях – по 25% получают Цех 1 (СС1) и Цех 2 (СС2), а оставшиеся 50% приходятся на долю Цеха 4 (СС4). В данном случае рассчитываются полные себестоимости проданных продукции и ремонтных работ, поскольку в них включаются стоимости затрат на управление предприятием.

Первые четыре записи ЖХО содержат общие стоимости первичных затрат, полученные цехами и офисом за весь рассматриваемый период. На самом деле эти общие стоимости складываются из множества стоимостей хозяйственных операций – начисления зарплаты и амортизации, потребления материалов, работ, услуг и т.п., но для расчета себестоимости важны именно общие стоимости первичных затрат за период, которые и показаны в ЖХО.

Аналогичная ситуация имеет место и с количествами единиц калькуляции. Записи ЖХО с 5-ой по 14-ю содержат общие количества единиц калькуляции за весь рассматриваемый период, хотя в «реальности» эти общие количества могут формироваться большим числом отдельных записей в ЖХО. Например, выпуск продукции Цехом 4 на склад предприятия может производится ежедневно, т.е. каждый день будет составляться свой производственный отчет, а в ЖХО ежедневно будет отражаться соответствующая запись.

Таким образом, выше на рисунках – как в ЖХО, так и в нарисованном Графе затрат представлено множество «сводных» хозяйственных операций, содержащих общие за период стоимости первичных затрат и общие за период количества единиц калькуляции, т.е. данное множество хозяйственных операций уже подготовлено для решения задачи расчета себестоимости.

Пока не будет выполнена процедура закрытия затрат периода, только четыре хозяйственные операции (с 1-ой по 4-ую) будут иметь не 0-вые стоимости.

Остальные хозяйственные операции (с 5-ой по 14-ю) характеризуются пока только количествами единиц калькуляции, которые всегда известны до начала процедуры закрытия затрат периода. Их значения содержатся как в первичных учетных документах – товарных накладных, актах выполненных работ и т.п., так и во внутренних документах предприятия – производственных отчетах, маршрутных листах, ведомостях учета рабочего времени и т.п. Стоимости этих хозяйственных операций будут определены по результатам выполнения процедуры расчета себестоимости – закрытия затрат периода.

 

ФОРМИРОВАНИЕ СЛАУ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ (ВАРИАНТ 1)  (↑)

    

Общий вид СЛАУ в матричной форме для нашей задачи имеет следующий вид:

   

P[7,7] TUC[7]=Z[7]

где:

P[7,7] – матрица коэффициентов уравнений

TUC[7] – вектор-столбец тарифов

Z[7] – вектор-столбец правых частей уравнений

Целью решения СЛАУ является нахождение вектора-столбца тарифов ТUC[7]:

TUC[7]=P-1[7,7] Z[7]

где:

P-1[7,7] – обратная матрица коэффициентов уравнений

   

Далее мы рассмотрим два варианта формирования входящих в СЛАУ матриц, т.е. два варианта расчета себестоимости для нашего примера.   

Первый вариант (рассмотрен в данной части статьи) предполагает снижение размерности задачи за счет исключения из СЛАУ уравнений для центров затрат CC6 и CC7, которые являются стоками и используются для формирования себестоимости проданной продукции и проданных ремонтных работ. Все затраты предприятия, попавшие в эти стоки, превращаются в расходы (аналог оборотов по дебету счета учета «Продажи»), т.е. эти центры затрат моделируют «факт выбытия» активов предприятия в результате их продажи покупателям.

Поскольку значения тарифов нужны для определения стоимости исходящих(!) из центра затрат потоков вторичных затрат (аналог оборотов по кредиту счетов учета), т.е. для определения стоимости затрат, отданных(!) одним центром затрат другому центру затрат, а стоки никогда не отдают свои затраты другим центрам затрат, то искать значения тарифов для стоков особого смысла не имеет. В результате, уравнения баланса затрат для центров затрат CC6 и CC7 можно не учитывать при расчете себестоимости, т.е. количество уравнений баланса затрат в СЛАУ для нашей задачи может быть уменьшено с 7-ми до 5-ти.   

Второй вариант (будет рассмотрен во второй части статьи) не предполагает снижения размерности задачи, т.е. для расчета себестоимости решается СЛАУ из 7-ми уравнений баланса затрат.

Рассмотрим первый вариант процедуры расчета себестоимости. Матричная форма СЛАУ для нашей задачи имеет следующий вид:

   

SLAU12

  

Матрица коэффициентов уравнений P[7,7] и вектор-столбец правых частей уравнений Z[7] формируются на основе учетных данных из ЖХО. Ячейки на главной диагонали матрицы P[7,7] для центров затрат CC6 и CC7 также заполнены значениями коэффициентов уравнений, хотя в ЖХО отсутствуют хозяйственные операции с этими данными. С формальной точки зрения количества проданной продукции (8кг) и проданных ремонтных работ (10ч) формируют затраты в НЗП на конец периода для этих центров затрат. Подобные учетные данные обычно не отражаются в ЖХО, а определяются расчетным путем.

Напомним, что общий термин «затраты в НЗП» используется в теории Графов затрат для обозначения затрат, остающихся в центрах затрат любого класса на начало или на конец периода. С этой точки зрения стоки CC6 и CC7 также могут иметь затраты в НЗП, в данном случае затраты в НЗП на конец периода для центра затрат CC6 характеризуют количество проданной продукции (8кг), а для центра затрат CC7 – количество проданных ремонтных работ (10ч).

Строго говоря, модель для расчета себестоимости должна была бы выглядеть так, как показано в правом Графе затрат ниже на рисунке:

   

SLAU13

   

В правом Графе затрат с помощью исходящих дуг показаны затраты в НЗП на конец периода WPEND6=8кг для стока CC6 и затраты в НЗП на конец периода WPEND7=10ч для стока CC7.

Не сложно увидеть, что данный вариант модели избыточен. С точки зрения задачи расчета себестоимости значения WPEND6 и WPEND7 просто дублируют количества входящих в эти стоки затрат, поэтому на практике удобнее не показывать в модели подобные затраты в НЗП, т.е. использовать Граф затрат, показанный слева.

Для решения полученной СЛАУ надо найти обратную матрицу коэффициентов уравнений P-1[7,7] и умножить ее на вектор-столбец Z[7], в результате будет найден искомый вектор-столбец тарифов TUC[7]. Умножив далее полученные тарифы на количества единиц калькуляции можно будет найти стоимости хозяйственных операций с 5-ой по 14-ю.

Рассмотрим подробнее процедуру решения СЛАУ с помощью типового функционала Microsoft Excel.

УМЕНЬШАЕМ РАЗМЕРНОСТЬ ЗАДАЧИ  ()

     

Для начала представим полученную СЛАУ в более удобном для практической работы виде – с помощью расширенной матрицы исходных коэффициентов PEXP[8,7], состоящей из квадратной матрицы коэффициентов уравнений P[7,7] и присоединенного к ней справа вектора-столбца правых частей уравнений Z[7].

Работа с таблицами Microsoft Excel предполагает некоторые особенности – все пустые ячейки матрицы PEXP[8,7] необходимо заполнить 0-ми, это связано с технологическими особенностями вычисления некоторых функций.

   

SLAU14

   

На рисунке также показана и расширенная матрица исходных коэффициентов KEXP[8,7], которая не присутствует в явном виде в СЛАУ, но очень удобна для практической работы, т.к. позволяет в наглядной и компактной форме представить всю необходимую для распределения вторичных затрат информацию. Эту матрицу можно рассматривать в качестве «интерфейса» модели для расчета себестоимости.

Несколько упростив ситуацию, можно сказать, что специалисту по расчету себестоимости достаточно иметь дело только с расширенной матрицей исходных коэффициентов. Формирование из нее расширенной матрицы коэффициентов уравнений и последующее решение СЛАУ в «правильно» спроектированной автоматизированной системе учета должно далее представлять собой чисто «техническую» задачу. Можно сказать, что если удалось сформировать расширенную матрицу исходных коэффициентов, то задача расчета себестоимости фактически уже решена, т.к. на этом заканчиваются все творческие этапы работы с моделью для расчета себестоимости.

На практике, при использовании варианта расчета себестоимости, основанного на уменьшении размерности СЛАУ, часто не заполняют диагональные элементы матриц для стоков, в которых формируются расходы предприятия, поскольку, с одной стороны, далее в расчетах они не учитываются, а с другой стороны, уменьшают наглядность матриц. Например, выше на рисунке количества проданных продукции и ремонтных работ показаны два раза, один раз в столбцах для CC2 и CC5, и второй раз – в столбцах для CC6 и CC7, что явно избыточно для пользователя модели.

Если представить СЛАУ в «обычной» форме, то легко увидеть, что уравнения 6 и 7 фактически не нужны, т.к. тарифы tUC6 и tUC7 используются только в «своих» уравнениях, а значит – не влияют на расчет значений остальных тарифов.

    

SLAU15

    

Это позволяет уменьшить число уравнений в СЛАУ с 7-ми до 5-ти. Исключив из рассмотрения столбцы и строки для стоков CC6 и CC7, преобразуем матрицу РEXP[8,7] в матрицу меньшей размерности – РEXP[6,5]:

       

SLAU16

 

Вычисленное в ячейке C19 значение определителя матрицы Р[5,5] отлично от 0-ля:

(5,5)=МОПРЕД(C14:G18)=-6,3×105≠0

Можно продолжить поиск единственного решения СЛАУ.

 

РЕШЕНИЕ СЛАУ (ОБРАТНАЯ МАТРИЦА)  (↑)

    

После уменьшения размерности задачи формула для нахождения значений тарифов примет следующий вид:

TUC[5]=P-1[5,5] Z[5]

Для нахождения обратной матрицы коэффициентов уравнений Р-1[5,5] воспользуемся функцией Microsoft Excel МОБР(), которая вводится как формула массива, предполагающая выполнение следующих действий:

- в ячейку M14 вводится формула МОБР(C14:G18)

- выделяется курсором область ячеек (M14:Q18)

- не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

- одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (M14:Q18) будет сформирована обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[5,5].

     

SLAU17

    

После этого выполняется последний шаг процедуры решения СЛАУ – обратная матрица Р-1[5,5] умножается на вектор-столбец Z[5] и определяются значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[5].

Перемножение матриц производится функцией Microsoft Excel МУМНОЖ(масив1,массив2). При выборе очередности массивов для перемножения необходимо, чтобы количество столбцов в массив1 было таким же, как количество строк в массив2:

МУМНОЖ(M14:Q18;R14:R18)

где:

массив1=(M14:Q18) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[5,5]

массив2=(R14:R18) – вектор-столбец правых частей уравнений Z[5]

Данная функция вводится как формула массива:

- в ячейку T14 вводится формула МУМНОЖ(M14:Q18;R14:R18)

- выделяется курсором область ячеек (T14:T18)

- не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

- одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (T14:T18) сформируются искомые значения тарифов, т.е. будет найдено решение СЛАУ.

   

РЕШЕНИЕ СЛАУ (ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА) (↑)

   

Рассмотрим еще один вариант решения СЛАУ с помощью типового функционала Microsoft Excel – надстройки «Поиск решения» (Solver), позволяющей решать оптимизационные задачи.

Данный вид задач предполагают поиск значений аргументов, доставляющих целевой функции минимальное или максимальное значение при наличии каких-либо дополнительных ограничений.

Чтобы воспользоваться возможностями данной надстройки, необходимо задачу решения СЛАУ свести к оптимизационной задаче. Для этого любое из уравнений СЛАУ (например, первое) нужно взять в качестве целевой функции, а оставшиеся уравнения рассматривать в качестве ограничений.

Подготовим СЛАУ, представленную расширенной матрицей коэффициентов уравнений РEXP[6,5], для решения оптимизационной задачи:

   

SLAU19 4

    

Теперь задачу можно сформулировать следующим образом – найдем значения вектора-столбца тарифов TUC[5], доставляющие нуль целевой функции в ячейке L34 при ограничениях, представленных уравнениями в ячейках (L35:L38).

Для решения этой задачи воспользуемся «Поиском решения» (Данные/Поиск решения – в примере использовалась Microsoft Excel 2016), задав следующие параметры поиска решения:

   

SLAU19 5

    

Нажав кнопку «Найти решение», получим в области ячеек (J34:J38) значения тарифов, обеспечивающих 0-вое значение целевой функции в ячейке L34 при ограничениях, представленных уравнениями в ячейках (L35:L38).

   

SLAU19 6

    

На рисунке видно, что полученные в области ячеек (J34:J38) значения тарифов совпадают со значениями тарифов, полученными ранее в области ячеек (T14:T18) при решении СЛАУ с помощью нахождения обратной матрицы коэффициентов уравнений, по крайней мере – до третьего знака после запятой. Для нашей задачи — это приемлемая точность решения.

   

МАТРИЦА СТОИМОСТЕЙ  (↑)

    

Теперь осталось определить значения элементов матрицы стоимостей C[7,7], для чего надо умножить значения элементов матрицы исходных коэффициентов К[7,7] на соответствующие значения тарифов из вектора-столбца ТUC[5]

   

SLAU18

    

В ячейках матрицы стоимостей C[7,7] содержатся все стоимости вторичных затрат, т.е. стоимости хозяйственных операций с 5-ой по 14-ю, которые теперь можно записать в ЖХО, как и значения тарифов из вектора-столбца TUC[5]:

    

SLAU19

   

Также представим множество хозяйственных операций в виде нарисованного Графа затрат, весами дуг которого являются номера операций из ЖХО (в скобках), количества единиц калькуляции и суммы операций.

   

SLAU19 1

   

ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ СЛАУ  (↑)

    

Чтобы снять возможные сомнения по поводу правильности полученного решения СЛАУ проверим, выполняются ли уравнения баланса затрат для всех центров затрат нашего Графа затрат?

В «обычном» виде СЛАУ будет выглядеть следующим образом: 

    

SLAU19 2   

Представим также потоки затрат для каждого центра затрат в геометрической форме:

    

SLAU19 3     

На рисунке видно, что все уравнения баланса затрат выполняются, т.е. решение СЛАУ, а значит и стоимости всех хозяйственных операций найдены правильно!

Таким образом, в данной статье мы рассмотрели первый вариант формирования матриц СЛАУ, предполагающий уменьшение размерности задачи за счет исключения из рассмотрения уравнений баланса затрат для стоков, в которых формируются расходы предприятия – в нашем примере это центры затрат CC6 и CC7, в которых формируются себестоимости проданной продукции и проданных ремонтных работ соответственно. Данный вариант позволяет пользователю работать с матрицами уменьшенной размерности, но процедура формирования этих матриц несколько усложняется, что, однако, не является большой проблемой для автоматизированной системы учета.

В следующей части статьи будет рассмотрен второй вариант формирования матриц СЛАУ для расчета себестоимости, при котором процедура формирования матриц проще, но размерность матриц выше.

Не следует также забывать, что рассмотренный в статье способ решения СЛАУ с помощью типового инструментария Microsoft Excel пригоден в основном для учебных целей. Безусловно, любой специалист по расчету себестоимости должен (хотя бы в общих чертах) понимать, какие алгоритмы лежат в основе процедуры расчета себестоимости, для чего и необходимо решать учебные задачи. Однако следует понимать, что использование инструментария Microsoft Excel в реальной практической работе малоэффективно. В адекватной автоматизированной системе учета должны использоваться численные методы решения СЛАУ, а пользователь должен иметь дело только с интерфейсной частью задачи, например, с расширенной матрицей исходных коэффициентов – до решения задачи и с матрицей стоимостей – после ее решения.