Расчет себестоимости (СЛАУ). Пример

    

Автор:  Александр Поляков

    

    

В данной статье мы подробно, по шагам рассмотрим процедуру расчета себестоимости (закрытия затрат периода), основанную на решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Каждое уравнение такой СЛАУ представляет собой уравнение баланса затрат для отдельного центра затрат, входящего в Граф затрат.

Составлять СЛАУ в матричной форме и искать ее решение будем на примере расчета себестоимости для небольшого производственного предприятия, используя для этого типовой функционал Microsoft Excel и метод решения СЛАУ, основанный на нахождении обратной матрицы. Можно скачать таблицы для рассматриваемого в статье примера и работать с ними в процессе изучения материала статьи.

 

Условия задачи

Формирование СЛАУ в матричной форме

Расширенная матрица исходных коэффициентов

Расширенная матрица коэффициентов уравнений

Решение СЛАУ (нахождение тарифов)

Матрица стоимостей

Проверка решения СЛАУ


 

УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ  ()

 

В отчетном периоде предприятие производит и продает продукцию, а также выполняет (продает) для сторонних контрагентов небольшие объемы ремонтных работ. Ниже на рисунке Граф затрат G(7,11) для рассматриваемой задачи представлен как в табличной форме – в виде журнала хозяйственных операций (ЖХО), так и в графической форме – веса дуг показывают номера операций из ЖХО (в скобках), количества единиц калькуляции и суммы операций.

    

SLAU10

    

Цех 1 (СС1) в отчетном периоде оказал транспортные услуги Цеху 2 (15м-ч) и Офису предприятия (5м-ч). Объемы транспортных услуг измеряются в машино-часах.

Цех 2 (СС2) в отчетном периоде выполнил ремонтные работы для Цеха 1 (5ч), для Цеха 4 (5ч) и для сторонних контрагентов (10ч). Объемы ремонтных работ измеряются в часах. Себестоимость проданных ремонтных работ формируется на входе центра затрат СС7.

Цех 4 (СС4) произвел в отчетном периоде 10кг продукции и поместил ее на склад предприятия (СС5). Часть продукции со склада (2кг) в отчетном периоде была использована Цехом 2, а оставшаяся продукция (8кг) была продана покупателям. Себестоимость проданной продукции формируется на входе центра затрат СС6.

Управление деятельностью предприятия производится административным персоналом в Офисе (СС3). Распределение стоимости управленческих затрат Офиса (СС3) производится в следующих пропорциях – по 25% получают Цех 1 и Цех 2, а оставшиеся 50% приходятся на долю Цеха 4. В данном примере рассчитываются полные себестоимости проданных продукции и ремонтных работ, поскольку в них включаются стоимости затрат на управление предприятием.

Первые четыре записи ЖХО содержат общие стоимости первичных затрат, полученных цехами и офисом предприятия в отчетном периоде. На самом деле эти общие стоимости формируются множеством хозяйственных операций в «реальном» ЖХО – начислением зарплаты, амортизации, потреблением материалов, работ, услуг и т.п., но для расчета себестоимости важны именно общие стоимости первичных затрат, которые и показаны для наглядности в «сводном» ЖХО нашего примера. Пока не будет выполнена процедура закрытия затрат периода, только эти четыре записи ЖХО будут характеризоваться не 0-выми стоимостями затрат.

Записи ЖХО с 5-ой по 15-ю содержат пока только общие количества единиц калькуляции, характеризующие процесс движения вторичных затрат между центрами затрат в отчетном периоде. Эти количества всегда известны до начала процедуры закрытия затрат периода, они содержатся как в первичных учетных документах – товарных накладных, актах выполненных работ и услуг и т.п., так и во внутренних документах предприятия – производственных отчетах, ведомостях учета рабочего времени и т.п. Для этих записей ЖХО стоимости вторичных затрат будут определены по результатам проведения процедуры закрытия затрат периода.

Целью распределения вторичных затрат (закрытия затрат периода) является определение тарифов – стоимостей единиц калькуляции для каждого центра затрат. Умножив далее тарифы на количества единиц калькуляции можно будет найти стоимости вторичных затрат для каждой записи ЖХО.    


 

ФОРМИРОВАНИЕ СЛАУ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ ()

    

Для нашего примера СЛАУ в матричной форме имеет следующий вид:

P[7,7] TUC[7] = Z[7]

где:

P[7,7] – матрица коэффициентов уравнений

TUC[7] – вектор-столбец тарифов

Z[7] – вектор-столбец правых частей уравнений

Решение данной СЛАУ (в учебных целях) будем производить с помощью типового функционала Microsoft Excel, используя метод, основанный на нахождении обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[7,7].

Целью решения СЛАУ является нахождение тарифов – значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[7], определяемых с помощью следующей формулы:

TUC[7] = P-1[7,7] Z[7]

где:

P-1[7,7] – обратная матрица коэффициентов уравнений

Таким образом, для нахождения решения СЛАУ необходимо сформировать матрицу коэффициентов уравнений P[7,7], найти обратную ей матрицу P-1[7,7] и сформировать вектор-столбец правых частей уравнений Z[7]. Перемножив затем матрицы P-1[7,7] и Z[7], найдем вектор-столбец тарифов TUC[7].


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА ИСХОДНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ  ()

    

В принципе, можно было бы сразу сформировать матрицу коэффициентов уравнений P[7,7], но мы начнем решение нашей задачи с того, что сформируем другую матрицу –  матрицу исходных коэффициентов K[7,7]. Это связано с тем, что на практике гораздо удобнее работать именно с этой матрицей, фактически она представляет собой известную многим бухгалтерам «шахматку», в ее ячейки заносятся общие количества единиц калькуляции, которыми обменялись между собой центры затрат в отчетном периоде.

Получение матрицы P[7,7] из матрицы K[7,7] происходит затем единственным образом, т.е. является чисто «технической» задачей. Рассмотрим матрицу исходных коэффициентов K[7,7], сформировав ее на основе записей в ЖХО:

   

SLAU11

   

Квадратная матрица исходных коэффициентов K[7,7] представляет собой таблицу, в столбцах которой находятся источники затрат, а в строках – получатели затрат. Элементы данной матрицы называются исходными коэффициентами ki,j.

Для удобства работы с Графами затрат используют также расширенные матрицы исходных коэффициентов, в нашем случае – KEXP[8,7]. Данная матрица получается путем добавления к квадратной матрице исходных коэффициентов K[7,7] справа вектора-столбца правых частей уравнений Z[7]. Это позволяет собрать в одной матрице сразу все данные, необходимые для составления СЛАУ.

      

SLAU12

   

Еще раз напомним, что данный вид матриц не присутствует в явном виде в искомой СЛАУ, но очень удобен для использования в практической работе, т.к. позволяет в наглядной и компактной форме представить всю необходимую для распределения вторичных затрат информацию. Можно сказать, что если удалось сформировать расширенную матрицу исходных коэффициентов, то фактически задачу расчета себестоимости можно считать решенной, т.к. на этом заканчиваются все «творческие» этапы работы с моделью для расчета себестоимости. Далее остается просто произвести ряд технических действий – преобразовать эту матрицу в расширенную матрицу коэффициентов уравнений и, решив СЛАУ каким-либо методом, определить тарифы на выходе каждого центра затрат.


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ  ()

     

 Теперь преобразуем расширенную матрицу исходных коэффициентов KEXP[8,7] в расширенную матрицу коэффициентов уравнений PEXP[8,7]:

   

SLAU13

   

Матрица PEXP[8,7] объединила в себе квадратную матрицу коэффициентов уравнений P[7,7] и вектор-столбец правых частей уравнений Z[7], т.е. в ней содержатся все необходимые данные для решения СЛАУ. Как видим, матрица PEXP[8,7] отличается от матрицы KEXP[8,7] только элементами на главной диагонали, формулы расчета значений которых представлены выше на рисунке.

Воспользуемся таблицами Microsoft Excel и запишем полученные матрицы в следующем виде:

    

SLAU14

    

Работа с таблицами Microsoft Excel предполагает некоторые технологические особенности – все пустые ячейки матрицы PEXP[8,7] необходимо заполнить 0-ми, это связано с технологическими особенностями вычисления некоторых функций.

СЛАУ имеет единственное решение в том случае, если определитель (7,7) матрицы Р[7,7] отличен от 0-ля, поэтому сначала вычислим в ячейке N10 значение определителя с помощью функции Microsoft Excel:

(7,7)=МОПРЕД(M3:S9)=0

где:

M3 – ячейка на пересечении первой строки и левого столбца матрицы P[7,7]

S9 – ячейка на пересечении последней строки и правого столбца матрицы P[7,7]

Полученное значение определителя (7,7) рано 0-лю, что говорит о невозможности нахождения единственного решения СЛАУ. Это связано с тем, что центры затрат СС6 и СС7 являются стоками, значения всех элементов в столбцах для CC6 и CC7 равны 0-лю. Стоки только получают затраты и никуда их не отдают, а значит и искать значения тарифов для них не нужно. В результате СЛАУ становится переопределенной, она содержит уравнений больше, чем число неизвестных тарифов.

Поскольку наличие двух 0-вых столбцов не позволяет найти единственное решение СЛАУ, исключим из рассмотрения столбцы и строки для CC6 и CC7. В результате матрица PEXP[8,7]преобразуется в матрицу PEXP[6,5] меньшей размерности:

       

SLAU15

 

Вычислим в ячейке C19 значение определителя матрицы Р[5,5]:

(5,5)=МОПРЕД(C14:G18)=-2,7×106≠0

Значение определителя отлично от 0-ля, т.е. можно продолжить поиск решения СЛАУ.


 

РЕШЕНИЕ СЛАУ (НАХОЖДЕНИЕ ТАРИФОВ)  ()

    

Поскольку две строки и два столбца были исключены из матрицы РEXP[8,7], то теперь целью решения СЛАУ является определение значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[5], т.е. число неизвестных тарифов сократилось с 7-ми до 5-ти.  Формула для нахождения значений тарифов примет следующий вид:

TUC[5] = P-1[5,5] Z[5]

Чтобы решить СЛАУ, представленную матрицей PEXP[6,5], сначала найдем обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[5,5]: 

     

SLAU16

    

Для этого воспользуемся функцией Microsoft Excel МОБР(C14:G18), которая вводится как формула массива и предполагает выполнение следующих действий:

- в ячейку M14 вводится формула МОБР(C14:G18)

- выделяется курсором область ячеек (M14:Q18)

- не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

- одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (M14:Q18) будет сформирована обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[5,5].

После этого можно выполнить последний шаг процедуры решения СЛАУ – определить значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[5], для чего необходимо перемножить матрицу Р-1[5,5] и вектор-столбец Z[5].

Перемножение матриц производится с помощью функции перемножения массивов МУМНОЖ(масив1,массив2). При выборе очередности массивов для перемножения необходимо, чтобы количество столбцов в массив1 было таким же, как количество строк в массив2, т.е. функция перемножения массивов примет следующий вид:

МУМНОЖ(M14:Q18;R14:R18)

где:

массив1=(M14:Q18) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[5,5]

массив2=(R14:R18) – вектор-столбец правых частей уравнений Z[5]

   

SLAU17

   

Данная функция вводится как формула массива:

- в ячейку T14 вводится формула МУМНОЖ(M14:Q18;R14:R18)

- выделяется курсором область ячеек (T14:T18)

- не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

- одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (T14:T18) будут получены искомые значения тарифов, т.е. будет найдено решение СЛАУ.


МАТРИЦА СТОИМОСТЕЙ  ()

    

Теперь осталось определить значения элементов матрицы стоимостей C[7,7] Графа затрат G(7,11), для чего надо умножить значения элементов матрицы исходных коэффициентов К[7,7] на соответствующие значения тарифов из вектора-столбца ТUC[5]

   

SLAU18

    

В ячейках матрицы стоимостей C[7,7] содержатся все стоимости вторичных затрат, которые теперь можно записать в ЖХО, как и полученные тарифы:

    

SLAU19


ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ СЛАУ  ()

    

Чтобы снять возможные сомнения по поводу правильности найденных стоимостей вторичных затрат, проверим полученное решения СЛАУ. Для этого необходимо проверить, выполняются ли уравнения баланса затрат во всех центрах затрат Графа затрат G(7,11)? 

    

SLAU19 1   

Как видим, все уравнения баланса затрат в СЛАУ выполняются, т.е. решение СЛАУ найдено правильно!

 Для полноты картины (на всякий случай) проверим правильность формирования обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[5,5]. Как известно, результатом перемножения матрицы и ее обратной матрицы является единичная матрица E. Это значит, что умножив матрицу коэффициентов уравнений Р[5,5] на обратную ей матрицу Р-1[5,5], мы должны получить единичную матрицу Е[5,5].

Перемножим матрицы с помощью функции:

МУМНОЖ(C15:H20;N15:S20)

где:

(C15:H20) – матрица коэффициентов уравнений Р[5,5]

(N15:S20) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[5,5]

    

SLAU19 2     

Данная функция вводится как формула массива:

- в ячейку M23 вводится в формула МУМНОЖ(C14:G18;M14:Q18)

- выделяется курсором область ячеек (M23:Q27)

- не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2

- одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

Как видим, в результате действительно получилась единичная матрица Е[5,5], содержащая 1-цы на главной диагонали и 0-ли в остальных ячейках, по крайней мере, с точностью до 3-го знака после запятой.