Решение обратной задачи на Графе затрат. Пример 1

  

Автор:  Александр Поляков

   

В данной статье мы рассмотрим простейший класс обратных задач, решаемых с помощью Графов затрат. Простейших в том смысле, что, имея математическую модель хозяйственной деятельности предприятия в виде СЛАУ, мы можем с ее помощью с одинаковым успехом решить на Графе затрат как прямую, так и обратную задачу. Напомним, что обратная задача является некорректной, т.к. может иметь несколько решений, но в статье мы рассмотрим самую простую ситуацию, когда можно получить единственное решение обратной задачи.

Под прямой задачей в данном случае будем понимать задачу расчета себестоимости продукции, работ и услуг, т.е. задачу поиска значений тарифов на выходе всех центров затрат Графа затрат для случая, когда заранее известны стоимости первичных затрат и значения исходных коэффициентов. Другими совами, это обычная учетная задача расчета себестоимости, которая регулярно решается на каждом предприятии.

Под обратной задачей будем понимать задачу определения стоимости первичных затрат при заранее заданных значениях тарифов и исходных коэффициентов. Другими словами, мы сами задаем желаемые значения тарифов, т.е. фактически задаем желаемые значения себестоимости продукции, работ и услуг, и далее определяем, при каких стоимостях первичных затрат они могут быть получены. Это также довольно обычная задача для любого предприятия, она решается, например, в процессе финансового планирования хозяйственной деятельности предприятия.

 

Граф затрат - прямая и обратная задача

 

Рассмотрим эти два класса задач на примере небольшого предприятия, производящего электроэнергию и дизельное топливо из растительного сырья (биодизеля). Предприятие состоит из трех цехов, офиса и склада, на котором хранится биодизель.

Цех 1 (транспорт) оказывает транспортные услуги двум другим цехам и офису предприятия. Объемы транспортных услуг измеряются в машино-часах.

Цех 2 (дизельная электростанция) производит электроэнергию, которая потребляется цехами и офисом предприятия, часть электроэнергии продается сторонним контрагентам. Объемы электроэнергии измеряются в киловатт-часах.

Цех 4 производит биодизель, объем которого измеряется в литрах, и помещает его на склад предприятия. Далее биодизель поступает в цех 1 для заправки автотранспорта и в цех 2 для работы электростанции, а также продается покупателям.

В офисе сосредоточен административный персонал предприятия, оказывающий услуги управления всем трем цехам. Услуги управления измеряются в человеко-часах.

 

РЕШАЕМ ПРЯМУЮ ЗАДАЧУ

 

На рисунке представлен взвешенный Граф затрат G(7,14) предприятия, в котором веса дуг содержат количества вторичных затрат и стоимости первичных затрат, полученных подразделениями предприятия в рассматриваемом периоде.

 

Граф затрат - прямая задача (расчет себестоимости)

 

Также эти количества и стоимости представлены в журнале хозяйственных операций (ЖХО):

 

Граф затрат - прямая задача (расчет себестоимости)

 

Алгоритм решения такой прямой задачи, т.е. задачи расчета себестоимости нам уже хорошо известен, связанные таблицы Microsoft Excel для расчета себестоимости (решения СЛАУ) можно скачать здесь.

Составив и решив СЛАУ для нашего примера, найдем значения тарифов и заполним все ячейки ЖХО:

   

Граф затрат - прямая задача (расчет себестоимости)

   

Прямая задача решена, теперь решим обратную задачу.

 

РЕШАЕМ ОБРАТНУЮ ЗАДАЧУ

 

Граф затрат G(7,14) для решения обратной задачи в качестве весов дуг содержит количества и стоимости вторичных затрат, а стоимости первичных затрат необходимо определить. Напомним, что стоимости вторичных затрат определяются как произведения тарифов и исходных коэффициентов, т.е. до начала решения обратной задачи значения тарифов предполагаются известными. Весами дуг в Графе затрат G(7,14) выступают:

ki,j – исходные коэффициенты

tUCi – тарифы

ci,j – стоимости вторичных затрат

   

Граф затрат - обратная задача (расчет стоимости первичных затрат)    

Журнал хозяйственных операций до решения обратной задачи, т.е. до поиска стоимостей первичных затрат, имеет следующий вид:

   

Граф затрат - обратная задача (расчет стоимости первичных затрат)     

Для решения обратной задачи вспомним, как выглядит матричная форма записи уравнений баланса затрат для Графа затрат G(7,14) из нашего примера:

 

Z[7]=P[7,7] TUC[7]

где:

P[7,7] – матрица коэффициентов уравнений, она легко получается из матрицы исходных коэффициентов K[7,7], которая нам известна

TUC[7] – вектор-столбец тарифов, который также считается известным

Z[7] – вектор-столбец правых частей уравнений, значения элементов которого предстоит определить в процессе решения обратной задачи

Данная задача относится к классу детерминированных обратных задач, т.е. задач, в которых известен результат на выходе модели, а требуется определить, при каких значениях входных параметров он получился. Под известным результатом на выходе модели подразумеваются заданные значения тарифов tUCi, а под входными параметрами подразумеваются неизвестные значения элементов вектор-столбца правых частей уравнений zi. Модель при этом определяется элементами матрицы коэффициентов уравнений P[7,7].

Поскольку стоимость любого элементарного потока вторичных затрат ci,j=ki,j×tUCi определяется как произведение исходного коэффициента ki,j на тариф tUCi, то задачу можно сформулировать также следующим образом – по заданным значениям стоимостей элементарных потоков вторичных затрат ci,j необходимо определить стоимости первичных затрат pci на входах центров затрат Графа затрат G(7,14).

Напомним, что в расчете значения элементов вектор-столбца правых частей уравнений zi принимают участие не только стоимости первичных затрат pci, но и стоимости затрат в незавершенном производстве на начало и на конец периода:

 

zi=wpENDiwpBEGipci

 

Это значит, что в общем случае нашу обратную задачу необходимо доопределить, т.е. получить дополнительную информацию о том, как соотносятся между собой стоимости первичных затрат и затрат в незавершенном производстве на начало и на конец периода. В нашем примере для простоты будем считать, что во всех центрах затрат стоимости затрат в незавершенном производстве на начало и на конец периода отсутствуют.

Представим на рисунке известные и неизвестные матрицы Графа затрат G(7,14):

   

Граф затрат - обратная задача (расчет стоимости первичных затрат)

   

Связанные таблицы Microsoft Excel для решения обратной задачи, т.е. для поиска стоимостей первичных затрат можно скачать здесь.

Перемножив матрицы P[7,7] и TUC[7], найдем значения элементов вектора-столбца правых частей уравнений Z[7], а, следовательно, найдем стоимости первичных затрат и заполним все ячейки ЖХО:

   

Граф затрат - обратная задача (расчет стоимости первичных затрат)

   

Обратная задача решена – стоимости первичных затрат найдены.