Устойчивость решения обратной задачи (планирование)

 

Автор:  Александр Поляков

 

 

В данной статье рассмотрен пример расчета, проводимого в процессе выполнения процедуры финансового планирования себестоимости на Графе затрат. В примере изучается ситуация, при которой небольшое изменение величины планируемой себестоимости (в пределах 1%) тарифа для транспортных услуг приводит к очень большим изменениям стоимостей первичных затрат (более, чем на ± 50%) в транспортном и ремонтном цехах предприятия.  


 

Решение прямой задачи - найдем тарифы для транспортных услуг и ремонтных работ

Решение обратной задачи - уменьшаем на 1% тариф для транспортных услуг

 


 

Решение прямой задачи - найдем тарифы для транспортных услуг и ремонтных работ

 

Поговорим немного о третьем условии корректности обратной задачи – условии устойчивости решения задачиРассмотрим смысл данного условия на примере решения прямой и обратной задачи на Графе затрат G1(4,4), представляющем собой модель небольшого предприятия, состоящего всего из двух цехов:

 

Устойчивость решения обратной задачи на Графе затрат  

Центр затрат CC1 моделирует деятельность транспортного цеха предприятия. Объемы транспортных услуг измеряются в машино-часах (m-hour). Себестоимость проданных транспортных услуг формируется на финишном центре затрат CC3.

 

Центр затрат CC2 моделирует деятельность ремонтного цеха предприятия. Объемы ремонтных работ измеряются в часах (hour). Себестоимость проданных ремонтных работ формируется на финишном центре затрат CC4.

 

Предприятие только начинает свою производственную деятельность, поэтому, в первый месяц работы были проданы очень маленькие объемы транспортных услуг и ремонтных работ: 

  • k1,3=0,1 m-hour - проданы транспортные услуги
  • k2,4=0,1 hour - проданы ремонтные работы

Остальное время сотрудники центра затрат CC2 занимались ремонтом автотранспорта в центре затрат CC1, а сотрудники центра затрат CC1 обеспечивали доставку запасных частей для производства ремонтных работ и доставку сотрудников центра затрат CC2 до места работы. Объемы транспортных услуг для внутренних нужд предприятия и работ по ремонту автотранспорта составили: 

  • k1,2=5 m-hour - оказаны транспортные услуги для центра затрат CC2
  • k2,1=5 hour - выполнены ремонтные работы для центра затрат CC1

За первый месяц деятельности предприятием были получены следующие стоимости потоков первичных затрат (зарплата, материалы и т.д.):

  • pc1(1)=$10
  • pc2(1)=$10

Расширенная матрица исходных коэффициентов KEXP(1)[4,4] Графа затрат G1(4,4) имеет следующий вид: 

 

Устойчивость решения обратной задачи

 

Решим СЛАУ и получим стоимости тарифов (как решать СЛАУ в Excel см.здесь):

  • tUC1(1)=100 $/m-hour - стоимость 1-го машино-часа
  • tUC2(1)=100 $/hour - стоимость 1-го часа ремонтных работ

что позволит сформировать матрицу стоимостей C(1)[4,4]:

 

Устойчивость решения обратной задачи на Графе затрат  

и взвешенный Граф затрат G1(4,4) с весами дуг, характеризующими стоимости элементарных потоков вторичных затрат:

  

Устойчивость решения обратной задачи на Графе затрат  

Наличие встречных потоков вторичных затрат между транспортным и ремонтным цехами привело к тому, что величины обоих тарифов многократно превышают как стоимости первичных затрат, поступивших в каждый из цехов в рассматриваемом периоде, так и общую сумму первичных затрат предприятия. Это не должно удивлять читателя, т.к. такие большие величины тарифов являются прямым следствием применяемой в бухгалтерском учете балансовой модели. Подробнее об этом можно прочитать в статьях:


 

Решение обратной задачи - уменьшаем на 1% тариф для транспортных услуг  (к оглавлению)

 

Перейдем к решению следующей обратной задачи на Графе затрат G1(4,4)определим стоимости потоков первичных затрат pc1(2) и pc2(2) для случая, когда величина тарифа tUC1(1) на выходе центра затрат CC1 уменьшится на 1%

 

      tUC1(2)=tUC1(1)×0,99=100×0,99=99 $/m-hour

 

Величина тарифа на выходе центра затрат CC2 и значения элементов матрицы исходных коэффициентов K[4,4] остаются неизменными. Матрица исходных коэффициентов K[4,4] и вектор-столбец тарифов TUC(2)[4] Графа затрат G(2)(4,4) имеют следующий вид: 

 

Устойчивость решения обратной задачи на Графе затрат  

Сформируем на основе матрицы исходных коэффициентов K[4,4] матрицу коэффициентов уравнений P[4,4] и умножим ее на вектор-столбец тарифов TUC(2)[4], в результате получим вектор-столбец правых частей уравнений Z(2)[4]

 

Устойчивость решения обратной задачи на Графе затрат

 

В данном случае считаем, что значения вектора-столбца правых частей уравнений Z(2)[4] были сформированы только с помощью стоимостей потоков первичных затрат, т.е. стоимости затрат в незавершенном производстве на начало и конец периода отсутствуют:

  • pc1(2)=$4,90
  • pc2(2)=$15,00 

Сформируем матрицу стоимостей C(2)[4,4]:

 

Устойчивость решения обратной задачи на Графе затрат

 

и построим взвешенный Граф затрат G2(4,4) с весами дуг, соответствующими стоимостям элементарных потоков вторичных затрат:

 

Устойчивость решения обратной задачи на Графе затрат

 

Анализ полученных результатов решения обратной задачи показывает, что изменение величины исходных данных на 1% повлекло за собой серьезные изменения искомых величин: 

  • Δpc1=pc1(2)-pc1(1)=4,90-10,00=-$5,10 (-51%
  • Δpc2=pc2(2)-pc2(1)=15,00-10,00=$5,00 (+50%) 

Такое поведение стоимостей потоков первичных затрат pc1 и pc2 при незначительном (всего на 1%) изменении величины тарифа tUC1, вполне можно оценить как невыполнение третьего условия корректности задачи – условия устойчивости решения обратной задачи. 

 

Действительно, в процессе решения обратной задачи, значение тарифа tUC1(2)=$99 можно рассматривать в качестве ближайшего окружения для базовой величины тарифа tUC1(1)=$100. Что касается величины pc1(2)=$4,9, то это значение уже нельзя считать ближайшим окружением по отношению к базовому значению pc1(1)=$10.

  

Подобная ситуация характерна для матриц коэффициентов уравнений P[NG,NG] с числом обусловленности Cond(P) много больше единицы (как правило, больше 102÷103). Это приводит к тому, что малые относительные вариации правой части СЛАУ могут привести к большим относительным вариациям решения. Такие СЛАУ называют плохо обусловленными.


 

Вывод: Понятие - обратная задача с присущими ее решению особенностями только на первый взляд кажется чем-то очень далеким от бухгалтерского (управленческого) учета. На самом деле, понимание особенностей решения обратных задач имеет огромное значение для специалистов, занимающихся вопросами микроэкономики, что и было проиллюстрировано примером, рассмотренным в статье.

 


Напомним, что числом обусловленности матрицы коэффициентов уравнений P[NG,NG] называется произведение:

 

      Cond(P)=P║║P-1

где:

  • P║ - норма матрицы коэффициентов уравнений P[NG,NG]
  • P-1║ - норма обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[NG,NG]

 

В качестве нормы матриц можно использовать, например, евклидову норму:

  • (Σi,jpi,j2)½ - суммируются квадраты значений всех элементов матрицы P[NG,NG], и квадратный корень из полученной суммы называется нормой матрицы P[NG,NG]
  • (Σi,jp-1i,j2)½ - суммируются квадраты значений всех элементов матрицы P-1[NG,NG], и квадратный корень из полученной суммы называется нормой матрицы P-1[NG,NG]