Узлы и дуги Графов затрат

Автор:  Александр Поляков

Вводная часть Центры затрат  Потоки затрат  Элементы и статьи затрат

   

Определим некоторые важные термины из теории графов, учитывая контекст их применения в технологии моделирования потоков затрат предприятия с помощью Графов затрат. 

Узел – опорная точка модели предприятия в виде Графа затрат, через которую проходят потоки затрат. Узел Графа затрат является базовым объектом модели предприятия, т.е. объектом самого низкого уровня. Его можно сравнить с «черным ящиком», имеющим только потоки затрат на входе и на выходе, но внутренняя жизнь этого объекта недоступна для исследователя, который не имеет возможности увидеть, каким образом входящие потоки затрат внутри центра затрат превращаются в исходящие потоки затрат. В теории графов для обозначения узлов также используются такие названия как вершина, точка, соединение. 

Центр затрат (СС_i) – узел Графа затрат, наделенный набором общих и специальных свойств, определяющих его состояние и поведение в Графе затрат. Нижний индекс «i» определяет порядковый номер центра затрат в Графе затрат. 

 

    

Следует отметить, что, сталкиваясь с реальной жизнью, теория Графов затрат (как и любая другая теория) допускает некоторые отклонения от строгих правил. Например, при решении практических задач на Графах затрат иногда все-таки возникает необходимость заглянуть внутрь центра затрат и посмотреть, каким образом входящие в него потоки затрат превращаются на выходе центра затрат в исходящие потоки затрат. В этом случае мы будем использовать прикладные объекты, о которых можно прочитать в статьях:

 Для чего нужны прикладные объекты

 Входящие затраты. Бюджеты затрат

 Производственная программа центра затрат

Передаточная функция центра затрат

Каждый центр затрат характеризуется определенным набором свойств, значения которых определяют как текущее состояние центра затрат, так и его возможное поведение в Графе затрат. Данные вопросы рассмотрены, например, в следующих статьях:

 Центры затрат - узлы Графа затрат

 Классификация центров затрат

Схема распределения затрат 

Все центры затрат, образующие Граф затрат, составляют множество его центров затрат:

V={CC₁,...,CC_NG} 

Мощность множества V будем называть порядком N_G Графа затрат, который определяет количество центров затрат в Графе затрат, т.е. позволяет обозначить количественную оценку размера Графа затрат. 

Дуга (e_w) – направленная связь между двумя центрами затрат Графа затрат. Нижний индекс «w» определяет порядковый номер дуги в Графе затрат. Использование дуг для соединения между собой центров затрат позволяет отнести Графы затрат к классу ориентирован­ных графов или сокращенно орграфов. 

С помощью дуги e_w мы имеем возможность моделировать направленный поток затрат между парой центров затрат Графа затрат. Такой поток затрат будем называть элементарным потоком вторичных затрат, а пару связанных дугой центров затрат Графа затрат будем называть соседними центрами затрат. О свойствах элементарных потоков вторичных затрат можно прочитать следующие статьи:

 Потоки затрат - дуги Графа затрат

Элементарный поток вторичных затрат 

 

Каждая дуга e_w=(CC_i,CC_j) определяет в Графе затрат соответствующий элементарный поток вторичных затрат, который характеризуется следующими свойствами:

 w - порядковый номер дуги в Графе затрат

 CC_i - источник затрат (начало дуги) CC_i-source

 CC_j - получатель затрат (конец дуги) CC_j-recipient

 Для источника затрат CC_i дуга e_w является исходящей дугой, а для получателя затрат СС_j входящей дугой.

Потоки вторичных затрат в Графе затрат можно рассматривать в качестве аналогов корреспонденций счетов бухгалтерского учета. Начало дуги (выход CC_i) можно рассматривать в качестве кредита центра затрат CC_i, а конец дуги (вход CC_j) – в качестве дебета корреспондирующего с ним центра затрат CC_j. 

Все дуги Графа затрат образуют множество его связей:

 E={e₁,...,e_NE}

Мощность множества связей E называется числом связей N_E, т.е. величина N_E определяет количество дуг в Графе затрат: 

Далее будем использовать следую­щие варианты обозначения Графов за­трат:

 G - для ссылки на Граф затрат G

 G(N_G) - для ссылки на Граф затрат G с указанием его порядка N_G

 G(N_G,N_E) - для ссылки на Граф затрат G с указанием его порядка N_G и числа связей N_E

Мы будем использовать тот или иной вариант обозначения Графов затрат в зависимости от контекста изложения материала, т.е. будем исходить из того, насколько необходимо в процессе рассмотрения конкретного вопроса обращать внимание читателей на порядок и число связей Графа затрат. 

Для решения некоторых задач на Графах затрат нам также понадобится такой объект, как обратная дуга e_Rw или обратный элементарный поток вторичных затрат. Каждая обратная дуга Графа затрат определяется парой центров затрат:

eRw=(CCi,CCj)_R

 где:

 w - порядковый номер обратной дуги в Графе затрат

 CCi - источник затрат (конец обратной дуги) CCi-source

 CCj - получатель затрат (начало обратной дуги) CCj-recipient

Нижний индекс R (return) говорит о том, что рассматривается обратное направление дуги, соответствующее обратному направлению элементарного потока вторичных затрат – от получателя затрат CC_j к источнику затрат CC_i.  

Иногда элементарные потоки вторичных затрат удобно представлять в виде кратных дуг. В этом случае мы будем использовать показатель freq(e_w), определяющий кратность дуги e_w, т.е. число дуг одинаковой направленности, соединяющих одну и ту же пару центров затрат (СС_i,CC_j). 

Например, необходимость в таком представлении элементарных потоков затрат возникает в случае использования в Графе затрат статей затрат или элементов затрат. По данной теме на сайте можно посмотреть следующие статьи:

 Элементы затрат и статьи затрат

 Элементы затрат

Статьи затрат

Если используются статьи затрат, то кратными дугами можно представить потоки затрат на входе центра затрат. Если используются элементы затрат, то кратными дугами можно представить потоки затрат как на входе центра затрат, так и на его выходе - данный способ передачи элементарных потоков вторичных затрат между центрами затрат предусматривает разделение общего элементарного потока вторичных затрат на множество непересекающиеся между собой подпотоков вторичных затрат, соответствующих каждому из используемых элементов затрат. 

На рисунке три центра затрат связаны между собой пятью дугами – пятью элементарными потоками вторичных затрат:

 

  

В верхнем журнале хозяйственных операций (ЖХО) показаны все пять операций - пять дуг Графа затрат. Например, это могут быть операции, записанные в ЖХО в различные моменты времени рассматриваемого периода.

В нижнем ЖХО две операции e_1.1 и e_1.2, связывающие центры затрат СС₁ и СС₂ объединены в одну «обобщенную» операцию e₁, а операции e_2.1, e_2.2 и e_2.3 объединены в операцию e₂. Такое объединение операций может происходить, например, в конце периода при проведении процедуры закрытия затрат или при построении отчета, когда нас интересуют только общие количества и суммы затрат, которыми обменились пары центров затрат за весь период.

В основном при решении задач на Графах затрат используются такие обобщенные дуги, т.к. количество однотипных операций между парой корреспондирующих центров затрат в периоде может быть очень велико, что сильно усложняет модель но не дает никакой важной информации о движении потоков затрат за период. Однако, если эти дуги соответствуют разным элементам затрат или статьям затрат, то объединение кратных дуг не производится.

Можно сказать, что все три центра затрат связаны между собой кратными дугами:

 пара центров затрат (CC₁,CC₂) связана дугой e₁ кратности freq(e₁)=2

 пара центров затрат (CC₂,CC₃) связана дугой e₂ кратности freq(e₂)=3

Для решения задач на Графах затрат нам также понадобится такой объект, как поток первичных затрат pc(CC_i) или pc_i, характеризующий поступление первичных затрат на вход центра затрат CC_i в рассматриваемом периоде.

 В геометрическом представлении Графа затрат поток первичных затрат pc_i будем представлять технологической дугой, начало которой не связано ни с одним центром затрат Графа затрат, а заканчивающейся на входе центра затрат CC_i.

Технологической данную дугу мы называем потому, что ее использование в Графе затрат носит вспомогательный характер, с ее помощью мы получаем возможность наглядно показать процесс попадания в Граф затрат потоков первичных затрат. Данная технологическая дуга не является «полноценной» дугой Графа затрат, т.к. она начинается на объекте учета, который не является центром затрат. 

Нам также понадобятся объекты, характеризующие состояние затрат в центре затрат CC_i на начало и на конец рассматриваемого периода. 

Затраты в незавершенном производстве на начало периода wp_BEG(CC_i) или wp_BEGi – затраты, накопившиеся в центре затрат CC_i к началу рассматриваемого периода.

 В геометрическом представлении Графа затрат - затраты в незавершенном производстве на начало периода wp_BEGi будем представлять технологической дугой, начало которой не связано ни с одним центром затрат Графа затрат, а заканчивающейся на входе центра затрат CCi.    

Затраты в незавершенном производстве на конец периода wp_END(CC_i) или wp_ENDi – затраты, оставшиеся в центре затрат CC_i на конец рассматриваемого периода.

В геометрическом представлении Графа затрат - затраты в незавершенном производстве на конец периода wpENDi будем представлять технологической дугой, конец которой не связан ни с одним центром затрат Графа затрат, а начинающейся на выходе центра затрат CCi. 

Таким образом, полный набор потоков затрат центра затрат CC_i имеет следующий вид: 

 

 

В реальной модели предприятия, например, в Графе затрат G(8,13) - рассмотренные потоки затрат выглядят следующим образом (для центра затрат CC₄):

 

     

Через центр затрат CC₄ протекают следующие потоки затрат (инцидентные дуги):

 pc₄=300$ - поток первичных затрат

 wp_BEG4=50$ - затраты в незавершенном производстве на начало периода

 wp_END4=40$ - затраты в незавершенном производстве на конец периода

 c_1,4=26,36$ - входящий элементарный поток вторичных затрат

 c_2,4=61,23$ - входящий элементарный поток вторичных затрат

 c_4,5=397,59$ - исходящий элементарный поток вторичных затрат

---

Забегая немного вперед отметим также, что в корректно построенном Графе затрат для всех перечисленных потоков затрат должно выполняться уравнение баланса затрат:

 pc₄+wp_BEG4+c_1,4+c_2,4-c_4,5-wp_END4=300+50+26,36+61,23-397,59-40=0$