Граф затрат как «топологический» объект

Автор:  Александр Поляков

 

В данной статье мы рассмотрим некоторые топологические свойства Графов затрат, т.е. свойств, характеризующие их как топологические фигуры.

Топология Графа затрат – конфигурация Графа затрат, схема соединения центров затрат и их расположения на плоскости или в пространстве в случае графического представления Графа затрат.

Поскольку существенным в Графе затрат для нас является лишь то, что он состоит из центров затрат и дуг, определяющих ормаршруты потоков затрат между центрами затрат, можно считать, что Граф затрат является не геометрической, а топологической фигурой. Каждая топологическая фигура имеет определенные топологические свойства, инвариантные при взаимнонепрерывном и взаимнооднозначном пространственном преобразовании.

Например, топологическими свойствами Графа затрат являются его порядок NG, число связей NE и направления дуг между центрами затрат.

Так как Граф затрат является топологической фигурой, то один и тот же Граф затрат может иметь различные графические представления, т.к. мы можем располагать в произвольном порядке его центры затрат, а соединяющие их дуги проводить с помощью прямых или ломаных линий – при этом информация о движении потоков затрат в Графе затрат останется той же самой. Если же, например, граф используется для описания сети автомобильных дорог, то будет совсем другая ситуация, т.к. в этом случае важно расположение его вершин (населенные пункты, автозаправки и т.п.) и формы ребер (автодороги). 

Рассмотрим два важных топологических свойства, которые будем далее использовать для изучения Графов затрат.

Топологический каркас – структура Графа затрат, в которой определены:

V={CC1,...,CCNG} - множество центров затрат, причем, важен только факт наличия центров затрат, их классификация и значения свойств центров затрат игнорируются

E={e1,...,eNE} - множество связей (дуг), причем, важен только факт наличия дуг между центрами затрат, их классификация и значения свойств дуг игнорируются  

Индивидуальная топология – структура Графа затрат, в которой определены:

V={CC1,...,CCNG} - множество центров затрат, здесь учитывается как факт наличия центров затрат, так и свойства центров затрат

E={e1,...,eNE} - множество связей (дуг), здесь учитывается как факт наличия дуг между центрами затрат, так и свойства дуг

Рассмотрим Графы затрат G1(5,5), G2(5,5) и G3(5,5):

    

Топология Графов затрат    

Все три Графа затрат имеют одинаковые топологические каркасы. Индивидуальные топологии совпадают только у Графов затрат G2(5,5) и G3(5,5). Рассмотрим причины, по которым мы сделали данные выводы.

Во-первых, у всех трех Графов затрат совпадают множества центров затрат Vi:

V1=V2=V3

где:

V1={CC1,CC2,CC3,CC4,CC5} - для Графа затрат G1(5,5)

V2={CC1,CC2,CC3,CC4,CC5} - для Графа затрат G2(5,5)

V3={CC1,CC2,CC3,CC4,CC5} - для Графа затрат G3(5,5)

Во-вторых, у всех трех Графов затрат совпадают множества связей Ei:

E1=E2=E3

где:

E1={e1,e2,e3,e4,e5} - для Графа затрат G1(5,5)

E2={e1,e2,e3,e4,e5} - для Графа затрат G2(5,5)

E3={e1,e2,e3,e4,e5} - для Графа затрат G3(5,5)

При определении равенства топологических каркасов Графов затрат G1(5,5), G2(5,5) и G3(5,5) мы не обращаем внимание на веса дуг, нас интересует только состав центров затрат и связей. Для сравнения индивидуальных топологий Графов затрат необходимо сравнивать также веса дуг:

 

  ew=(CCi,CCj)  G1(5,5)  G2(5,5)  G3(5,5) 
  e1=(CC1,CC2) k1,2=10 k1,2=1 k1,2=1
  e2=(CC2,CC3) k2,3=20 k2,3=2 k2,3=2
  e3=(CC3,CC5) k3,5=10 k3,5=1 k3,5=1
  e4=(CC4,CC2) k4,2=10 k4,2=1 k4,2=1
  e5=(CC4,CC5) k4,5=20 k4,5=2 k4,5=2

 

Веса дуг совпадают только у Графов затрат G2(5,5) и G3(5,5), следовательно, только эти два Графа затрат имеют одинаковую индивидуальную топологию. 


Поговорим немного о топологии, т.к. использование топологии в такой области, как моделирование движения потоков затрат по Графу затрат, таит в себе много возможностей.

Топология – это раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание.

Под непрерывной деформацией понимается такая  деформация фигуры, при которой не происходит никаких разрывов, т.е. нарушений целостности фигуры, или склеиваний. В научно-популярной литературе топологию также называют геометрией на резиновом листе, поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, подвергающихся растяжению, сжатию или изгибанию. Топология является пока еще одним из новейших разделов математики. Рассмотрим наиболее важные для нас понятия.

Топологическое преобразование (гомеоморфизм) одной фигуры на другую – это такое отображение точек фигуры, при котором каждой точке первой фигуры однозначно соответствует одна точка второй фигуры, а процесс отображения является взаимно непрерывным. Фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными.

Например, изображенные ниже на рисунке окружность с центром в точке O и радиусом R и граница квадрата ABCD гомеоморфны. Это означает, что окружность и границу квадрата можно перевести друг в друга топологическим преобразованием – изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, в данном случае – растяжением границы квадрата ABCD на окружность с центром в точке O и радиусом R.

Топология Графов затрат 

Гомеоморфизм границы квадрата и окружности означает, что если заданы две точки P0 и Q0 на границе квадрата и две точки P1 и Q1 на окружности и точка P0 движется так, что расстояние между ней и точкой Q0 стремится к нулю, то и расстояние между соответствующими им точками P1 и Q1 также стремится к нулю, и наоборот.

 


Применение топологии открывает очень интересные возможности для проведения классификации моделей предприятий с различными видами производственных процессов. 

Действительно, как сейчас характеризуют предприятия с точки зрения вида и сложности его производственных процессов? В лучшем случае разделяют предприятия, например, на торговые, производственные и оказывающие услуги. Существуют даже отдельные методики распределения затрат отдельно для торговых предприятий и для производственных. Также отдельно рассматриваются предприятия, занимающиеся реализацией различных проектов в любых сферах экономики. Топологический же подход к построению моделей предприятий позволяет классифицировать предприятия по видам топологических каркасов характерных для них Графов затрат.

Ниже на рисунках представлены Графы затрат G1(8,10) и G2(8,10) двух предприятий.

GZ83 

Первое предприятие, представленное Графом затрат G1(8,10), занимается производством и продажей продукции. В его состав входят – транспортный цех и пять цехов основного производства.

Второе предприятие, представленное Графом затрат G2(8,10), занимается выполнением консалтинговых проектов. В его состав входят три группы специалистов, работающие в настоящее время над тремя проектами. 

Топологические каркасы обоих Графов затрат совпадают, а индивидуальные топологии не совпадают из-за различия в значениях свойств центров затрат.

Графы затрат G1(8,10) и G2(8,10) можно назвать изоморфными (совпадающими). Фактически, это один и тот же Граф затрат. В данном случае мы смогли визуально определить изоморфность Графов затрат, в общем же случае процесс сравнения Графов затрат может представлять собой серьезную вычислительную проблему.

Учитывая вышеизложенное, можно сделать важный вывод – для организации учета затрат на предприятии нам гораздо важнее знать предполагаемые варианты топологических каркасов Графов затрат, чем  отраслевую принадлежность предприятия.