Система уравнений баланса затрат. СЛАУ

Автор:  Александр Поляков

Уравнение баланса затрат.СЛАУ

В статье Уравнение баланса затрат для центра затрат мы рассмотрели, как составляется балансовое уравнение для одного центра затрат. Поскольку Граф затрат состоит из множества взаимодействующих между собой центров затрат, теперь необходимо составить математическую модель, учитывающую эти взаимодействия. Посмотрим, как это можно сделать на примере небольшого предприятия, хозяйственная деятельность которого представлена с помощью модели в виде Графа затрат G(3,6), включающего в себя три центра затрат, каждый из которых обменивается потоками затрат с остальными центрами затрат модели:

Граф затрат G(3,6) является полным гра­фом, в котором каждый центр затрат достижим из любого другого центра затрат, т.е. в Графе за­трат G(3,6) организован максимально возможный состав потоков затрат. На практике подобные Графы затрат практически не встречаются, но он удобен для изучения процедуры составления математической модели – в данном случае эта модель будет представлять собой систему линейных алгебраических уравнений. Каждое уравнение системы представляет собой уравнение баланса затрат для соответствующего центра затрат.

Каждый из трех центров затрат CC_i Графа за­трат G(3,6) получает в течение рассматриваемого периода первичные затраты – pc_i.

В каждом из трех центров затрат Графа за­трат G(3,6) существуют затраты в незавершенном производстве (НЗП) на начало рассматриваемого периода – wp_BEGi.

В каждом из трех центров затрат Графа за­трат G(3,6) существуют затраты в незавершенном производстве на конец рассматриваемого периода – wp_ENDi.

Составим уравнения баланса затрат для каждого центра затрат. Начнем с центра затрат СС₁:

Соствим уравнение баланса затрат для центра затрат СС₂:

Составим уравнение баланса затрат для центра затрат СС₃:

Во всех уравнениях для наглядности красным цветом выделены тарифы t_UCi. При расчете себестоимости обычно значения тарифов являются неизвестными величинами, которые необходимо определить в процессе решения системы уравнений баланса затрат.

Значения исходных коэффициентов k_i,j считаются известными до начала процедуры решения системы уравнений.

Сведем все три уравнения баланса затрат в систему уравнений и представим ее в более удобном для дальнейшей работы виде:

Полученную систему линейных алгеб­раических уравнений с набором коэффициен­тов уравнений p_i,j далее будем сокращенно назы­вать СЛАУ. Автор надеется, что распространение рассмотренной методики составления СЛАУ на любое количество центров затрат не должно представлять сложностей для читателя.

В некоторых случаях в СЛАУ могут присутствовать диагональные исходные коэффициенты k_i,i, отличные от 0-ля. Такая ситуация возникает, например, когда необходимо «задержать» в конце рассматриваемого периода на соответствующем центре затрат CC_i определенную сумму затрат, пропорциональную величине диагонального исходного коэффициента k_i,i. Формулы определения коэффициентов уравнений p_i,i в этом случае выглядят следующим образом:

p1,1=–(k_1,1+k1,2+k1,3)

p2,2=–(k2,1+k2,2+k2,3)

p3,3=–(k3,1+k3,2+k3,3)

а формулы для определения значений правых частей уравнений z_i примут следующий вид:

z1=–wpBEG1–pc1

z2=–wpBEG2–pc2

z3=–wpBEG3–pc3 

Формулы не содержат элементов, соответствующих стоимостям затрат в НЗП на конец периода wp_ENDi, т.к. эти стоимости будут определены c помощью диагональных исходных коэффициентов k_i,i после решения СЛАУ. Подробнее мы рассмотрим данный вариант формирования значений коэффициентов уравнений p_i,j в статье Когда неизвестны затраты в НЗП на конец периода.