Расчет себестоимости (СЛАУ). Отрицательные стоимости

   

Автор:  Александр Поляков

    

В данной статье мы посмотрим, как влияет на результаты расчета себестоимости некорректно определенная пользователем стоимость затрат в НЗП на конец периода для производственного центра затрат. Подробнее об особенностях составления уравнения баланса для случая, когда неизвестна стоимость в НЗП на конец периода можно прочитать в статье Когда неизвестны затраты в НЗП на конец периода (производство продукции). Составлять и решать СЛАУ будем на примере расчета себестоимости для небольшого производственного предприятия, используя типовой функционал Microsoft Excel.

 

Условия задачи

Стоимость затрат в НЗП на конец периода

Формирование СЛАУ в матричной форме

Расширенная матрица исходных коэффициентов

Расширенная матрица коэффициентов уравнений

Решение СЛАУ (нахождение тарифов)

Матрица стоимостей и взвешенный Граф затрат

Проверка решения СЛАУ. Обсуждение результатов


УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ  ()

   

В интересующем нас периоде предприятие производит и продает продукцию, а также выполняет для других предприятий небольшие объемы ремонтных работ. На рисунке представлен взвешенный Граф затрат G(8,13), моделирующий движения потоков затрат на предприятии в выбранном периоде. 

    

SLAU30

    

Центр затрат СС1 моделирует деятельность цеха 1 – транспортного цеха предприятия. Объемы транспортных услуг измеряются в машино-часах (м-ч).

Центр затрат СС2 моделирует деятельность цеха 2 – ремонтного цеха предприятия. Объемы ремонтных работ измеряются в часах (ч). Ремонтный цех выполняет ремонтные работы как для самого предприятия, так и для других предприятий. Себестоимость проданных ремонтных работ формируется на входе центра затрат СС8.

Транспортный цех и ремонтный цех объединены во Вспомогательный цех, который управляется своим административным персоналом. Центр затрат СС3 предназначен для моделирования деятельности этого административного персонала. Положением об учетной политике предприятия предусмотрено, что распределение стоимости управленческих затрат Вспомогательного цеха (на выходе СС3) производится пропорционально общим стоимостям первичных затрат, полученных цехами 1 и 2 в рассматриваемом периоде.

Центр затрат СС4 моделирует деятельность цеха 4 – цеха производства продукции, которая далее поступает на склад предприятия (СС5). Вся поступившая на склад продукция в рассматриваемом периоде продается покупателям. Себестоимость проданной продукции формируется на входе центра затрат СС7.

Центр затрат СС6 предназначен для моделирования деятельности высшего звена управления предприятием. Положением об учетной политике предусмотрено признание затрат на управление предприятием полностью в рассматриваемом периоде, т.е. все затраты, накопленные за период в центре затрат СС6, включаются в себестоимость проданной продукции – попадают на вход центра затрат СС7.

Журнал хозяйственных операций (ЖХО) предприятия за рассматриваемый период (до распределения вторичных затрат) имеет следующий вид:

    

SLAU31    

Первые пять строк ЖХО содержат общие стоимости первичных затрат, полученных центрами затрат за рассматриваемый период. Для наглядности сразу показаны общие стоимости первичных затрат, т.к. именно они важны далее для расчета себестоимости, хотя на самом деле эти стоимости формируются множеством хозяйственных операций в ЖХО – начисление зарплаты, амортизации, потребление материалов и т.п. Стоимости вторичных затрат будут определены после расчета себестоимости за период.

Строки ЖХО с 6-ой по 18-ю содержат общие количества единиц калькуляции, характеризующие процесс движения вторичных затрат между центрами затрат в рассматриваемом периоде. Эти количества должны быть известны до начала процедуры распределения вторичных затрат, они содержатся как в первичных учетных документах – товарных накладных, актах выполненных работ и услуг и т.п., так и во внутренних документах предприятия – производственных отчетах, ведомостях учета времени и т.п.

Целью распределения вторичных затрат периода (закрытия затрат) является определение тарифов, т.е. стоимостей единиц калькуляции для каждого центра затрат. Перемножив тарифы и количества единиц калькуляции, можно будет найти стоимости вторичных затрат в каждой строке ЖХО.

   

СТОИМОСТЬ ЗАТРАТ В НЗП НА КОНЕЦ ПЕРИОДА (↑)

 

Кроме информации, пред­ставленной в ЖХО в явном виде, в цехе 4 существуют затраты в незавершенном производстве (НЗП):

wpBEG4=$50 – стоимость затрат в НЗП на начало периода

wpEND4=$490 – стоимость затрат в НЗП на конец периода

Обычно затраты в НЗП на начало периода не показываются в ЖХО в явном виде, их стоимости для каждого центра затрат рассчитываются алгебраическим сложением стоимостей затрат, поступивших (со знаком «+») в центр затрат и ушедших из него (со знаком «-») в предыдущем периоде. В данном примере по результатам распределения вторичных затрат предыдущего периода в цехе 4 (СС4) остались затраты в НЗП стоимостью 50$.

Затраты в НЗП на конец периода также не показываются в ЖХО в явном виде, их стоимость может быть определена различным образом, в частности, в рассматриваемом примере предполагается, что стоимость затрат в НЗП в размере 490$ была определена путем оценки стоимости остатков материалов, выявленных в цехе 4 по результатам инвентаризации в конце периода.

Следует отметить, что определение стоимости затрат в НЗП на конец периода для производственного центра затрат СС4 представляет собой довольно «неприятную» процедуру для пользователя модели. Как было отмечено в статье Когда неизвестны затраты в НЗП на конец периода (производство продукции), в этом случае у пользователя есть два варианта выхода из ситуации – либо строить более подробную модель, т.е. изменять топологию Графа затрат, либо использовать для определения стоимости затрат в НЗП на конец периода некую дополнительную информацию, что вносит в модель для расчета себестоимости элемент неопределенности.

Первый вариант построения модели предполагает, что для моделирования деятельности цеха 4 должен использоваться не один «общий» центр затрат СС4, а 61 центр затрат. Смысл такого расширения модели предполагает, что производство каждого из 60-ти килограмм продукции отражается в Графе затрат отдельным центром затрат, который собирает затраты на производство только своего килограмма продукции. А в 61-м центре затрат на конец периода остаются все затраты в НЗП.

Второй вариант определения стоимости НЗП на конец периода предполагает, что у пользователя отсутствует возможность или желание строить столь подробную модель хозяйственной деятельности предприятия, как это предполагается в первом варианте. Желание пользователя ограничить размер и сложность модели понятны и часто имеет под собой разумные основания, но в этом случае возникает проблема неоднозначности определения стоимости затрат в НЗП на конец периода, т.к. в модель вносится элемент неопределенности. Либо строится подробная модель хозяйственной деятельности предприятия (первый вариант), и тогда стоимость затрат в НЗП на конец периода рассчитывается «автоматически». Либо строится более простая (грубая) модель, и расплатой за это является необходимость откуда-то взять и подставить в правую часть уравнения баланса затрат для СС4 стоимость затрат в НЗП на конец периода до того момента, как начнется поиск решения СЛАУ.

Второй вариант требует получения дополнительной информации о процессах внутри центра затрат СС4, которая бы позволила найти стоимость затрат в НЗП на конец периода. Например, именно с целью получения этой дополнительной информации и возникает необходимость в проведении инвентаризации остатков НЗП с последующей их оценкой по какому-либо из правил – по стоимости материалов, по стоимости затрат на оплату труда, по стоимости всех затрат и т.п. Также может использоваться информация о нормативах расхода ресурсов или какая-то другая дополнительная информация. В нашем примере в конце периода по результатам инвентаризации остатков материалов в центре затрат СС4 пользователь определил стоимость затрат в НЗП в размере 490$.

Безусловно, это не очень «приятная» для пользователя ситуация, т.к. в зависимости от выбранного способа определения стоимости затрат в НЗП на конец периода ее величина может иметь различные значения, то есть в алгоритм расчета себестоимости вносится элемент неопределенности. Расчет себестоимости становится альтернативным, когда можно получить разные значения стоимостей вторичных затрат в зависимости от того, какую дополнительную информацию решит выбрать пользователь для определения стоимости затрат в НЗП на конец периода.

Использование СЛАУ в качестве математической модели для расчета себестоимости предполагает, что если Граф затрат построен, то дальше можно получить единственное решение СЛАУ, т.е. расчет себестоимости представляет собой чисто техническую задачу получения единственного решения СЛАУ. Но поскольку пользователь имеет возможность получить разные варианты стоимости затрат в НЗП на конец периода, то и расчет себестоимости может дать разные варианты стоимостей вторичных затрат на одном и том же Графе затрат. Это является «расплатой» за то, что разработчик не сумел или не захотел строить подробную модель хозяйственной деятельности предприятия, в которой для производственных центров затрат отсутствовала бы проблема определения стоимости затрат в НЗП на конец периода. В этом случае приходится дополнять модель для расчета себестоимости информацией, позволяющей каким-то образом сформировать правую часть уравнения баланса затрат хоть с какой-то степенью точности и достоверности.


ФОРМИРОВАНИЕ СЛАУ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ ()

    

Представим СЛАУ для нашего примера в матричной форме:

P[8,8] TUC[8] Z[8]

где:

P[8,8] - матрица коэффициентов уравнений

TUC[8] - вектор-столбец тарифов

Z[8] - вектор-столбец правых частей уравнений

В статье рассматривается процедура решения СЛАУ с помощью таблиц Microsoft Excel (скачать), основанная на нахождении обратной матрицы коэффициентов уравнений P-1[8,8]. Целью данной процедуры является определение значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[8] с помощью следующей формулы:

TUC[8] P-1[8,8] Z[8]

где:

P-1[8,8] – обратная матрица коэффициентов уравнений

Как известно, матрица коэффициентов уравнений формируется на основе матрицы исходных коэффициентов, которая по-существу представляет собой «шахматку», в ячейках которой содержатся общие количества единиц продукции, работ и услуг, характеризующие движение потоков затрат между центрами затрат в течение периода. Поэтому процедура распределения вторичных затрат (закрытия затрат) начинается с формирования матрицы исходных коэффициентов. 


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА ИСХОДНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ  ()

    

Сформируем матрицу исходных коэффициентов  K[8,8] («шахматку») на основе анализа данных из ЖХО:

   

SLAU32

   

Квадратная матрица исходных коэффициентов K[8,8] представляет собой таблицу, в столбцах которой находятся источники затрат, а в строках – получатели затрат. В ячейки шахматки вносятся общие количества единиц калькуляции, которые источники затрат в течение периода передали получателям затрат.

Для удобства представления данных о затратах предприятия в задачах расчета себестоимости удобно использовать расширенную матрицу исходных коэффициентов KEXP[9,8], получаемую добавлением к квадратной матрице исходных коэффициентов K[8,8] справа вектора-столбца правых частей уравнений Z[8]:

   

SLAU33

   

Данный вид матриц удобен для использования в задачах расчета себестоимости, т.к. матрицы данного вида в максимально наглядной форме представляют всю необходимую для распределения вторичных затрат (закрытия затрат) информацию. Если сформирована расширенная матрица исходных коэффициентов, то задача расчета себестоимости фактически решена, т.к. далее остается произвести только ряд «технических» действий – преобразовать эту матрицу в расширенную матрицу коэффициентов уравнений и найти единственное решение СЛАУ. 


РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ  ()

     

Преобразуем расширенную матрицу исходных коэффициентов KEXP[9,8] в расширенную матрицу коэффициентов уравнений PEXP[9,8]:

   

SLAU34

   

Теперь воспользуемся таблицами Microsoft Excel (скачать) и запишем полученные выше матрицы в следующем виде:

    

SLAU35

    

При работе с таблицами Microsoft Excel все пустые ячейки расширенной матрицы коэффициентов уравнений PEXP[9,8] необходимо заполнить 0-ми, это связано с технологическими особенностями вычисления некоторых функций в Microsoft Excel.

СЛАУ имеет единственное решение если определитель (8,8) матрицы Р[8,8] отличен от 0-ля, поэтому вычислим в ячейке N11 значение определителя матрицы с помощью функции Microsoft Excel:

МОПРЕД(N3:U10)

где:

N3 – ячейка на пересечении первой строки и левого столбца матрицы P[8,8]

U10 – ячейка на пересечении последней строки и правого столбца матрицы P[8,8]

Полученное значение определителя (8,8) рано 0-лю, что говорит о невозможности нахождения единственного решения СЛАУ. Это связано с тем, что значения всех элементов в столбцах для CC7 и CC8 равны 0-лю. Экономический смысл появления этих нулевых столбцов понятен – центры затрат СС7 и СС8 являются стоками, они только получают затраты и никуда их не отдают, а значит искать значения тарифов для них не нужно. В результате СЛАУ содержит уравнений больше, чем число неизвестных тарифов.

Исключим из рассмотрения столбцы и строки для центров затрат CC7 и CC8. В результате расширенная матрица коэффициентов уравнений РEXP[9,8] преобразуется в расширенную матрицу коэффициентов уравнений РEXP[7,6] меньшей размерности:

    

SLAU36

   

Вычисленное в ячейке C21 с помощью функции Microsoft Excel МОПРЕД(C15:H20) значение определителя матрицы коэффициентов уравнений Р[6,6] отлично от 0-ля, что позволяет продолжить поиск единственного решения СЛАУ.


РЕШЕНИЕ СЛАУ (НАХОЖДЕНИЕ ТАРИФОВ)  ()

    

Поскольку нам пришлось исключить две строки и два столбца из расширенной матрицы коэффициентов уравнений РEXP[9,8], то теперь целью решения СЛАУ является определение значений элементов вектора-столбца тарифов ТUC[6], т.е. число неизвестных тарифов сократилось с 8-ми до 6-ти.  Формула для нахождения значений тарифов примет следующий вид:

TUC[6] P-1[6,6] Z[6]

Для решения СЛАУ, представленной расширенной матрицей коэффициентов уравнений РEXP[7,6], необходимо с помощью функции Microsoft Excel МОБР(C15:H20) найти обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[6,6]:

     

SLAU37

    

Данная функция вводится как формула массива. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

в ячейку N15 вводится формула МОБР(C15:H20)

выделяется курсором область ячеек (N15:S20)

не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2 (она сработает только для ячейки N15)

одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

во всех ячейках области (N15:S20) появится формула массива {МОБР(C15:H20)}

В результате в области ячеек (N15:S20) будет сформирована обратная матрица коэффициентов уравнений P-1[6,6].

После этого можно выполнить последний шаг процедуры решения СЛАУ – определить значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[6], для чего необходимо перемножить обратную матрицу коэффициентов уравнений Р-1[6,6] и вектор-столбец Z[6].

Перемножение матриц производится с помощью функции перемножения массивов МУМНОЖ(масив1,массив2). При выборе очередности массивов для перемножения необходимо, чтобы количество столбцов в массив1 было таким же, как количество строк в массив2, т.е. функция перемножения массивов примет следующий вид:

МУМНОЖ(N15:S20;T15:T20)

где:

массив1=(N15:S20) – обратная матрица коэффициентов уравнений Р-1[6,6]

массив2=(T15:T20) – вектор-столбец правых частей уравнений Z[6] 

   

SLAU38

   

Данная функция вводится как формула массива:

в ячейку V15 вводится формула МУМНОЖ(N15:S20;T15:T20)

выделяется курсором область ячеек (V15:V20)

не отменяя выделения ячеек области нажимается клавиша F2 (она сработает только для ячейки V15)

одновременно нажимается комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter

В результате в области ячеек (V15:V20) будут получены искомые значения элементов вектора-столбца тарифов TUC[6], т.е. будет найдено решение СЛАУ.

Как видим, на выходах центров затрат СС4 и СС5 получились отрицательные значения тарифов tUC4 и tUC5, т.е. себестоимости 1кг произведенной продукции и 1кг проданной со склада продукции характеризуются отрицательными величинами. Мы обсудим эту ситуацию позже, а пока просто обратим внимание читателя на эту особенность.


МАТРИЦА СТОИМОСТЕЙ И ВЗВЕШЕННЫЙ ГРАФ ЗАТРАТ  ()

    

Теперь осталось определить значения элементов матрицы стоимостей C[8,8Графа затрат G(8,13), для чего надо умножить значения элементов матрицы исходных коэффициентов К[8,8] на соответствующие значения тарифов из вектора-столбца ТUC[6]

   

SLAU39

    

Запишем полученные стоимости вторичных затрат в ЖХО:

    

SLAU391

   

Также сформируем взвешенный Граф затрат G(8,13), веса дуг которого соответствуют стоимостям потоков вторичных затрат.

    

SLAU392     

В Графе затрат присутствуют отрицательные стоимости вторичных затрат с4,5 и с5,7, что понятно, ведь для их расчета использовались отрицательные тарифы tUC4 и tUC5. Обсудим полученные результаты.


ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ СЛАУ. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ  ()

    

Сначала проведем формальную проверку – посмотрим, выполняются ли уравнения баланса затрат во всех центрах затрат Графа затрат G(8,13)?

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC1 

    

SLAU393     

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC2:

    

SLAU394     

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC3:

    

SLAU395    

Определим алгебраическую сумму стоимостей всех потоков затрат, прошедших через центр затрат CC4:

      

SLAU396

   

Не будем проверять выполнение уравнений баланса затрат для остальных центров затрат Графа затратG(8,13), читатель может выполнить проверку самостоятельно и убедиться, что все уравнения баланса затрат выполняются, т.е. решение СЛАУ найдено правильно. Это говорит о том, что с математической точки зрения мы все сделали правильно – математическая модель расчета себестоимости на основе СЛАУ «отработала» корректно.

Теперь обсудим экономическую сторону данной ситуации. Выше мы уже говорили, что в зависимости от выбранного способа определения стоимости затрат в НЗП на конец периода ее величина может иметь различные значения, то есть в алгоритм расчета себестоимости вносится элемент неопределенности – можно получить разные значения стоимостей вторичных затрат в зависимости от дополнительной информации, которую решит использовать пользователь для определения стоимости затрат в НЗП на конец периода.

В нашем примере пользователь в конце периода по результатам инвентаризации остатков материалов в центре затрат СС4 определил стоимость затрат в НЗП в размере 490$. Однако при расчете себестоимости выяснилось, что пользователь определил эту стоимость некорректно, т.к. в процессе расчета себестоимости появились отрицательные стоимости вторичных затрат. Это связано с тем, что такая стоимость затрат в НЗП на конец периода просто не может существовать в рассматриваемой модели. Действительно, даже если бы цех 4 получил в течение периода те же самые первичные и вторичные затраты, но не произвел бы ни одного килограмма продукции, т.е. все полученные затраты остались бы в нем как затраты в НЗП на конец периода, то даже в этом случае не могла бы получиться стоимость затрат в НЗП в размере 490$:

pc4+wpBEG4+c1,4+c2,4=300+50+26,36+61,23=437,59$ < 490$

Таким образом, математически корректные стоимости потоков вторичных затрат, полученные при решении СЛАУ, не имеют экономического смысла. При постановке задачи пользователь ошибся и должен пересмотреть свой подход к определению стоимости затрат в НЗП на конец периода.